Dimostrazione teorema di Sylvester

A lezione il teorema ci è stato così enunciato.

"La segnatura è invariante per congruenze. Equivalentemente date $S$=diag(1,...,1,-1,....,-1,0,...0) e $S'$=diag(1,...,1,-1,....,-1,0,...0) allora $S$ è congruente a $S'$ se e solo se le due matrici hanno la medesima segnatura".

Quella che non capisco della dimostrazione (e sui libri trovo un enunciato formulato diversamente) è questo:il mio prof ha scritto semplicemente che è OVVIO il fatto che se le segnature sono uguali (cioè hanno lo stesso numero di autovalori positivi, negativi e nulli) allora le matrici sono congruenti.

Qualcuno mi può aiutare?
Grazie

Ci sono varie formulazioni del teorema si sylvester
Questa formula magari ti può suonare meglio come: due forme bilineari simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Passare alla matrici è un attimo

Comunque avere la stessa segnatura significa essere congruenti alla stessa matrice diagonale e visto che la congruenza è una relazione di equivalenza allora è "ovvio" che siano congruenti tra di loro.

Se $A, B$ sono congruenti ad una stessa matrice $D$ allora valgono

${(P^tAP=D), (Q^tBQ=D) :} => (PQ^(-1))^tA(PQ^(-1))=B$

Ci sono varie formulazioni del teorema si sylvester
Questa formula magari ti può suonare meglio come: due forme bilineari simmetriche sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. Passare alla matrici è un attimo

Comunque avere la stessa segnatura significa essere congruenti alla stessa matrice diagonale e visto che la congruenza è una relazione di equivalenza allora è "ovvio" che siano congruenti tra di loro.

Se $A, B$ sono congruenti ad una stessa matrice $D$ allora valgono

${(P^tAP=D), (Q^tBQ=D) :} => (PQ^(-1))^tA(PQ^(-1))=B$

Grazie mille per la spiegazione