Terna di numeri direttori di una retta

Sia \(\displaystyle r : \left\{\begin{matrix}
ax+by+cz+d = 0 & \\
aìx+b'y+c'z+d' = 0 &
\end{matrix}\right. \)con \(\displaystyle rank(A) = rank\begin{pmatrix}
a&b&c \\
a'&b'&c'
\end{pmatrix} = 2 \)

Allora una terna di numeri direttori $(l,m,n)$ è data da

\(\displaystyle l = \begin{vmatrix}
b&c \\
b'&c'
\end{vmatrix},

m = \begin{vmatrix}
a&c \\
a'&c'
\end{vmatrix},

n = \begin{vmatrix}
a&b \\
a'&b'
\end{vmatrix} \)

Dimostrazione:

\(\displaystyle \begin{vmatrix}
l&m&n \\
a&b&c \\
a'&b'&c'
\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix}
b&c \\
b'&c'
\end{vmatrix}
-b \begin{vmatrix}
a&c \\
a'&c'
\end{vmatrix}
+c \begin{vmatrix}
a&b \\
a'&b'
\end{vmatrix} \)

\(\displaystyle
\begin{vmatrix}
a'&b'&c' \\
a&b&c \\
l&m&n
\end{vmatrix} = a' \begin{vmatrix}
b'&c' \\
b&c
\end{vmatrix}
- b' \begin{vmatrix}
a'&c' \\
a&c
\end{vmatrix}
+c \begin{vmatrix}
a'&b' \\
a&b
\end{vmatrix} \)

∎

Una dimostrazione pur breve, ma non ci ho capito nulla.

Considera due determinanti, tra l'altro con le stesse righe ma cambiandone solo la disposizione, per ottenere cosa?

Dove viene dimostrata la tesi, ovvero che una terna di numeri direttori della retta $r$ è data dai determinanti dei minori di ordine 2 estratti dalla matrice $A$ presi a segno alterno?

Per calcolare i due determinanti viene applicato Laplace, no? Quindi perchè al secondo membro al posto di $a$, $b$ e $c$ non ci sono $l$, $m$ e $n$ per il primo determinante e al posto di $a'$, $b'$ e $c'$ non ci sono $l$, $m$ e $n$? (parlo dei 'coefficienti' dei determinanti delle matrici di ordine 2)

.

Mi servirebbe una delucidazione generale

Le formalizzazioni sono più ostiche in assenza di una visione geometrica IMHO.

Una retta in $RR3$ è definita dagli elementi comuni a due piani.
Un piano invece è definito come l'insieme di vettori ortogonali ad una direzione (+eventuale traslazione).

I coefficienti dei due piani sono appunto le direzioni di cui sopra.
Quindi la retta ha direzione perpendicolare ad entrambe.

Quindi la direzione della retta è il prodotto vettoriale delle due direzioni perpendicolari ai piani.

Da qua le formule e la logica sottostante.

Diversi anni fa mi ero scritto dei brevi appunti che potrebbero esserti utili. Prova a dare un'occhiata qui a pag. 5.

Ora c'è un po' più di contesto!

Quindi la direzione della retta è il prodotto vettoriale delle due direzioni perpendicolari ai piani.

Per calcolare IL prodotto vettoriale basta calcolare UN determinante... perchè invece la dimostrazione che ho riportato (e che riportano anche gli appunti di Sergio) calcola due determinanti?

Perchè non posso dimostrare in questa maniera?

\(\displaystyle \begin{vmatrix}
i&j&k \\
a&b&c \\
a'&b'&c'
\end{vmatrix} = i \begin{vmatrix}
b&c \\
b'&c' \\
\end{vmatrix} -j \begin{vmatrix}
a&c \\
a'&c' \\
\end{vmatrix} + k \begin{vmatrix}
a&b \\
a'&b' \\
\end{vmatrix} \)

Grazie mille ad entrambi!