Autovalori di un endomorfismo simmetrico reale

Sia $f$ $in$ $L(V,V)$ l'endomorfismo simmetrico dell'$RR$ spazio vettoriale Euclideo $(V,<,>)$ di $dimV=n$. Allora esiste $lambda$ $in $ $R-{0}$ tale che $lambda$ appartiene
allo spettro di $f$.

Per preparare l'esame orale ho cercato su internet la dimostrazione di questo fatto ma non ho trovato nulla di così specifico.
Qualcuno ha un testo/pdf dove trovarla?
Oppure qualcuno mi può dare una mano?
Grazie

Secondo me non lo trovi perché è falso.

Ma come??

l'ho trovato negli appunti del mio professore.
per quale motivo sarebbe falsa?
Grazie

@Aletzunny
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?

@Aletzunny
Quanti endomorfismi simmetrici (o anche non) conosci che abbiano come immagine il solo vettore nullo?

Quello del $ker$(?)

Se $f\in L(V,V)$ è simmetrico, un corollario del teorema spettrale ti dice che gli autovalori sono tutti reali, ma non ti dice che sono tutti non nulli.
I casi sono tre:
a) è un automorfismo;
b) nell'enunciato $\lambda \in RR - {0}$ è scivolato dalla penna e si deve intendere $\lambda \in RR$ e basta;
c) mi perdo qualcosa

Ma è esiste... cioè almeno c'è un autovalore diverso da zero...

@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.

@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.

Dunque così questa potrebbe essere la dimostrazione?
Nel senso mi aspettavo molti passaggi

Devi dimostrarlo però.
Una volta che hai l'impianto logico, richiama un paio di teoremi (spettrale e rango+nullità) per dimostrare che, oltre il caso banale, l'immagine di un endomorfismo ha dimensione $>=1$ per cui il kernel ha dimensione massima $n-1$, etc etc

Quindi, perdonami, la tesi segue perché la dimensione del $ker$ in un endomorfismo al massimo è sempre $n-1$ (da dimostrare) e la dimensione dell'immagine è sempre $>=1$(da dimostrare).

Ma perché allora da ciò si può dire che certamente un autovalore sarà diverso da $0$ ?

Pensavo di aver capito, ma mi sto perdendo su questo aspetto.

Grazie

La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.