06/03/2020, 23:40
Bokonon ha scritto:La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
07/03/2020, 09:52
07/03/2020, 11:14
Bokonon ha scritto:Prendi la dimostrazione generale del teorema in $CC$ e considera il caso particolare
07/03/2020, 12:30
07/03/2020, 12:32
07/03/2020, 14:53
Sergio ha scritto:Aletzunny ha scritto:L'unico suggerimento per la dimostrazione è stato quello di dirci di considerare la matrice A=AT∈Mn(R) e interpretarla come matrice su C con il proprio prodotto scalare hermitiano di (C)n
In una forma sesquilineare (ed è tale il prodotto hermitiano) si ha \(\langle \alpha v,w\rangle = \alpha\langle v,w\rangle\), \(\langle v,\alpha w\rangle = \overline\alpha\langle v,w\rangle\).
Se $A$ è un operatore simmetrico, si ha \(\langle Av,w\rangle=\langle v,Aw\rangle\). Se \(\lambda\) è un autovalore, se cioè \(Av=\lambda v\), si ha \(\langle \lambda v,w\rangle = \langle v,\lambda w\rangle\).
Ma si ha anche \(\lambda \langle v,w\rangle=\overline\lambda\langle v, w\rangle\), quindi \(\lambda = \overline\lambda\), cioè \(\lambda\in\mathbb{R}\).
09/03/2020, 03:57
Bokonon ha scritto:@Aletzunny
Esclusa l'applicazione identicamente nulla, la dimensione massima del kernel è $n-1$.
Il kernel è l'autospazio legato all'autovalore 0.
Quindi un esiste almeno un autovalore reale diverso da zero.
09/03/2020, 11:39
09/03/2020, 11:42
Bokonon ha scritto:La logica è:
- un endomorfismo che ha un'immagine di dimensione 0 è associato alla matrice nulla
- qualsiasi altro endomorfismo ha un'immagine di dimensione $1<=dim Im(f)<=n$
- dal teorema di rango + nullità sappiamo quindi che $0<=dim ker(f)<=n-1$.
- da cui segue che l'autospazio legato all'autovalore zero ha dimensione massima $n-1$
- poiché l'endomorfismo è simmetrico, sappiamo dal teorema spettrale che è diagonalizzabile e che ha esattamente n autovalori reali.
-quindi esiste almeno un autospazio collegato ad un autovalore diverso da zero.
09/03/2020, 13:09
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