Buongiorno a tutti, mi scuso in anticipo se ho sbagliato sezione per la domanda e se tale domanda è già stata posta (non l'ho trovata).
Ho questa situazione.
Ho la sfera n-dimensionale con norma unitaria
$ S^n = {P in R^(n+1) : || P|| =1} $
Su questo insieme ho introdotto le Carte Stereografiche date dalle coppie
$ (U_n , varphi _n),(U_s,varphi _s) $ dove $ U_n = S^n - {N} $ e $ U_s = S^n - {S} $
Con N ed S intendo polo Nord e Sud
E con $ varphi _n:U_nrarr R^n $ (analogamente $ varphi_s $)
Ho già verificato che le i-esime componenti di tali funzioni sono le seguenti:
$ x_n^i=P^i/(1-P^(n+1)) $ e $ x_s^i=P^i/(1+P^(n+1)) $
Il mio problema è il seguente:
Devo mostrare che queste due carte formano un Atlante per la sfera, il mio ragionamento è stato il seguente:
Nella prima parte devo verificare che i domini delle due carte ricoprono tutta la sfera (questo passo è stato immediato).
La seconda parte della dimostrazione prevede che debba verificare che le due carte siano compatibili, ossia che la seguente funzione è un diffeomorfismo tra aperti di $R^n$.
$varphi_s o varphi _n^-1$
Dominio e Codominio di tale funzione coincidono con $R^n -{0}$ e quindi questa è una funzione tra aperti di $R^n$
Successivamente ho tentato di verificare che tale funzione(e la sua inversa) fossero differenziabili.
Analiticamente ho ricavato che: $(varphi _s ovarphi _n^-1)(x)=x/(|| x||^2 )$ e $(varphi _s ovarphi _n^-1)^-1(y)=y/(|| y||^2 )$
E qui sorge il mio problema. Ho tentato di verificare la loro differenziabilità tramite il teorema della differenziabilità totale (ossia se le derivate parziali esistono e sono continue in un punto allora la funzione è differenziabile in tale punto)
Ma mi sembra un procedimento troppo lungo.
Volevo chiedere se ci fossero errori in tale dimostrazione e, inoltre, se ci fosse un procedimento più veloce per verificare ciò
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Davide1992 il 11/03/2020, 09:43, modificato 1 volta in totale.