25/03/2020, 11:17
j18eos ha scritto:A parte che non capisco il motivo per cui $ϕ_2≡0$...
Silent ha scritto:un insieme \( \displaystyle S\subset\mathbb{R}^n \) è detto superficie k-dimensionale in \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) se per ogni punto \( \displaystyle x_0\in S \) esiste un suo intorno \( \displaystyle U(x_0) \) e un diffeomorfismo \( \displaystyle \varphi \) (cioé un cambio di coordinate da \( \displaystyle (x_1,...,x_n) \) a \( \displaystyle (t_1,...,t_n) \)) tale che nelle nuove coordinate l'insieme \( \displaystyle U(x_0)\cap S \) si possa definire come \( \displaystyle t_{k+1}=...=t_n=0 \).
j18eos ha scritto:quest'ultimo si dovrebbe spezzarsi in 4 pezzi. Topologicamente questo è assurdo: perché?
25/03/2020, 12:21
25/03/2020, 14:09
j18eos ha scritto:Scusa: quali sono le nozioni di topologia che conosci?
25/03/2020, 18:18
25/03/2020, 18:20
25/03/2020, 18:21
Silent ha scritto:Niente, non ci arrivo, comunque riporto un ragionamento aggiuntivo che forse sono riuscito a tirare fuori.
Dicevamo, se per assurdo esiste una trasformazione di coordinate \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) che in un intorno dell'origine \(\displaystyle (x_1=0,x_2=0) \) riesca a descrivere l'insieme S così:
\(\displaystyle S:\left\{\begin{matrix} \phi_1=\phi_1(x_1,x_2)\\ \phi_2=\phi_2(x_1,x_2)=0 \end{matrix}\right. \)
vuol dire che, per definizione di S:
\(\displaystyle \phi_2(x,x)=\phi_2(x,-x)=\phi_2(-x,x)=\phi_2(-x,-x)=0 \)
per ogni \(\displaystyle x\in\mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle (\pm x, \pm x)\in S\cap U((x_1=0,x_2=0)) \) e quindi, affinché l'intera trasformazione \(\displaystyle (x_1,x_2)\mapsto (\phi_1,\phi_2) \) sia biunivoca, deve succedere che \(\displaystyle \phi_1(\pm x,\pm x) \) fornisca sempre 4 valori diversi.
Da qui, ancora non riesco ad arrivare a un assurdo.
25/03/2020, 18:27
25/03/2020, 19:06
j18eos ha scritto:
Altrimenti, dovresti dimostrare brutalmente che \(\displaystyle rank J_{(\phi_1,\phi_2)}(0,0)=0\), ovvero non può invertire \(\displaystyle\phi_1\) in \(\displaystyle(0,0)\); ma questo lo trovo più complicato...
Se non sono stato chiaro: domanda pure!
25/03/2020, 22:18
25/03/2020, 23:09
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