25/03/2020, 15:09
25/03/2020, 20:23
27/03/2020, 12:55
kaspar ha scritto:Mi sa che ci sono molte parentesi quadre invece di parentesi tonde: l'intervallo che ti serve è \((0,1)\).
kaspar ha scritto:(1) Puoi pensarla geometricamente, così per farti una prima idea...
kaspar ha scritto:Puoi trovare una "formula" esplicita di questa biezione con un po' di geometria semplice semplice.
kaspar ha scritto:Ora che hai una biezione \(f : (0,1) \to \mathbb R\), puoi considerare una funzione \[\underbrace{f \times \dots \times f}_{n \text{ volte}} : (0,1)^n \to \mathbb R^n\] che manda una tupla \((x_1, \dots, x_n)\) nella tupla \((f(x_1), \dots, f(x_n))\). E capisci ora che siffatta funzione è biettiva.
Resta da vedere che \((0,1) \cong (0,1)^n\), la qualcosa si fa facilmente per induzione.
kaspar ha scritto:(2) L'idea è questa: ad un numero in rappresentazione binaria \(0,\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots\) dell'intervallo \([0,1)\) associ il sottoinsieme \(\{k \in \mathbb N \mid \alpha_k=1\}\). È una funzione biunivoca? Sì. C'è da sistemare il dettaglio \([0,1) \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
kaspar ha scritto:(3) Io non mi preoccuperei tanto. Si tratta di sapere che il prodotto cartesiano di due insiemi con la potenza del continuo, ha la potenza del continuo (cosa che si appoggia al fatto che \(\mathbb R \times \mathbb R \cong \mathbb R\)). Generalizzando, lo fai induttivamente, \(\mathbb R^n\) ha la potenza del continuo per ogni \(n \in \mathbb N\).
Sicuro che non ci sia qualche errore di battitura?
27/03/2020, 15:00
Più che altro una funzione che mandi da \((0,1)\) (il segmento) a \(\mathbb R\) (l'intera retta). Metto in spoiler un abbozzo.Perdona l'ignoranza, ma come lo faresti? scrivendo una formula a partire da R che rimandi alla circonferenza in (0,1) e viceversa?
Non basterebbe osservare che qualsiasi potenza di un'intervallo (0,1) restituisce l'intervallo stesso?
Una funzione iniettiva molto naturale è l'inclusione, ovvero la funzione \(i : (0,1) \to [0,1]\) tale che \(i(x) = x\). Un'altra iniezione molto naturale è \(j : [0,1] \to \mathbb R\), sempre \(j(x) = x\). Ora se prendiamo una biezione \(f\) da \(\mathbb R\) a \((0,1)\) (ce n'è almeno una), abbiamo l'iniezione \[C'è da sistemare il dettaglio \([0,1] \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
Non ho capito la perplessitàma scritto così mi sembra di partire dal risultato della dimostrazione per risolvere la dimostrazione stessa; per quello non mi convince molto
27/03/2020, 16:33
30/03/2020, 14:59
kaspar ha scritto:Più che altro una funzione che mandi da \((0,1)\) (il segmento) a \(\mathbb R\) (l'intera retta). Metto in spoiler un abbozzo.Perdona l'ignoranza, ma come lo faresti? scrivendo una formula a partire da R che rimandi alla circonferenza in (0,1) e viceversa?Testo nascosto, fai click qui per vederloL'idea è di considerare questa costruzione geometria piana per costruire una biezione che manda \(X\) in \(Z\). Viene usata la similitudine dei triangoli \(CBZ\) e \(YXZ\).
kaspar ha scritto:Ehm no
kaspar ha scritto: Una funzione iniettiva molto naturale è l'inclusione, ovvero la funzione \(i : (0,1) \to [0,1)\) tale che \(i(x) = x\). Un'altra iniezione molto naturale è \(j : [0,1) \to \mathbb R\), sempre \(j(x) = x\). Ora se prendiamo una biezione \(f\) da \(\mathbb R\) a \((0,1)\) (ce n'è almeno una), abbiamo l'iniezione \[
f \circ j : [0,1) \to \mathbb R \to (0,1)
\] La situazione a cui siamo pervenuti è quella di due iniezioni \begin{align*}
i &: (0,1) \to [0,1) \\
f \circ j &: [0,1) \to (0,1) \\
\end{align*} e quindi per CBS abbiamo che \([0,1) \cong (0,1)\).
kaspar ha scritto: Non ho capito la perplessità
31/03/2020, 19:31
Allora ci andiamo piano...Umberto93 ha scritto:Ti ringrazio davvero per la chiarezza e il tempo che mi dedichi, ti prego di avere pazienza (è la prima volta che studio queste cose):
Umberto93 ha scritto:Provo a esplicitare quello che ho capito: sarò stupido io, ma mi torna tutto tranne $X$ che ha coordinate $(0.89,0)$; ipotizzando che vada bene anche un $X$ con coordinate $(1,0)$: siccome vi è un modo unico di scrivere i due triangoli $CBZ$ e $YXZ$ perché siano simili con quelle precise coordinate e questo vale per tutti gli infiniti punti, allora concludo che ci sia una Biezione?
Umberto93 ha scritto:kaspar ha scritto:Ehm no
Allora tento la soluzione:
poiché abbiamo
i) $(0,1)cong(0,1)^1$
ii)e abbiamo $(0,1)cong(0,1)^2$ in quanto per proprietà della potenza $(0,1)^2=(0,1)$
iii) allora $(0,1)cong(0,1)^n$
è corretto?
31/03/2020, 19:39
kaspar ha scritto:(2) L'idea è questa: ad un numero in rappresentazione binaria \(0,\alpha_0 \alpha_1 \alpha_2 \dots\) dell'intervallo \([0,1)\) associ il sottoinsieme \(\{k \in \mathbb N \mid \alpha_k=1\}\). È una funzione biunivoca? Sì. C'è da sistemare il dettaglio \([0,1) \cong (0,1)\), ma lo fai rapidamente con il teorema di Cantor-Bernstein-Schroder e quanto trovato nell'esercizio precedente.
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