Fattorizzazione A=LU e PA=LU

buongiorno, dopo aver fatto l'algoritmo di eliminazione di Gauss non ho ben capito, soprattutto a livello pratico, come calcolare la fattorizzazione $A=LU$ e $PA=LU$ con pivoting a partire dalla matrice $A$ e quando vada applicato uno o l'altro metodo e/o quali condizioni vadano rispettate nel momento dell'applicazione dei due metodi.

Sperando di non dire cavolate, data la matrice $A$ mi pare di aver compreso che per il caso $A=LU$ la matrice $U$ è la matrice $A$ resa a scalini mentre la matrice $L$ è la matrice triangolare inferiore creata dai moltiplicatori calcolati durante l’esecuzione dell’algoritmo di Gauss. Ma è sempre cosi? E dove "entra il pivoting"? oppure serve solo nel secondo caso?

invece per il caso $PA=LU$ non mi è chiaro come si ottenga la matrice $P$ e se per $L$ e $U$ valga il medesimo ragionamento fatto sopra e come vada utilizzato il pivoting.

Grazie

Grazie mille...ma invece il pivoting sarebbe "scambiare" la riga con quella tra le righe sotto quella increminata con il numero più grande in modulo che possa fare da nuovo pivot...corretto?