Esercizio operatore lineare

Salve a tutti! Ho nuovamente bisogno del vostro aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Sia $\F: RR^3rarrRR^3$ l'operatore lineare avente la matrice

$\A=((0,1,0),(0,0,1),(-1,1,1))$

quale matrice associata rispetto alla base $\B={(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)}$ di $\RR^3$.
-Sia $\U$ il sottospazio vettoriale di $\R^3$ generato dai vettori $\(-1,1,2)$ e $\(0,-1,2)$ e sia $\W=F(U)$. Verificare se risulta $\RR^3=U+F(U)$ (somma diretta! Non so scrivere in formule il simbolo di somma diretta! ).
La mia difficoltà in questo esercizio sarebbe calcolarmi $\F(U)$. Dovrei calcolarmi le immagini di quei due vettori che generano $\U$? E se sì, come faccio? So che dovrei proporre io un modo per calcolarmi questi vettori ma purtroppo non mi viene in mente nulla! Spero in un vostro aiuto!

\( \newcommand{\pt}[1]{\Bigl(\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\Bigr)} \)Puoi rispondere subito "no": si vede a occhio che \( F \) è un automorfismo (manda una base - quella canonica - nella base fatta dalle colonne di \( A \)); e la dimensione di \( U \) è \( 2 \); e la dimensione di \( F(U) \) è \( 2 \), perché, appunto, \( F \) è un automorfismo. Ma la dimensione della somma diretta¹ è la somma delle dimensione degli addendi.

La mia difficoltà in questo esercizio sarebbe calcolarmi \( F(U) \).

Se un vettore di \( U \) si scrive per definizione come \( \alpha\pt{-1\\1\\2} + \beta\pt{0\\-1\\2} \), allora è l'insieme delle combinazioni lineari \( \alpha F\pt{-1\\1\\2} + \beta F\pt{0\\-1\\2} \) al variare di \( \alpha,\beta\in\mathbb R \), no?.

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Note

1. Il simbolo è \oplus, ma credo che funzioni solo tra \( e \). ↑

Prima di tutto grazie mille per la risposta e le spiegazioni! Tuttavia non ho capito come hai fatto a stabilire che si tratta di un automorfismo

Un'applicazione lineare che manda una base in una base ammette inversa. (La dimostrazione ci deve essere per forza sul tuo libro di algebra lineare).

Purtroppo al momento non mi viene in mente questo teorema ma andrò a controllare sul mio libro!
Grazie mille della risposta, sei stato molto gentile! Ma vorrei chiederti un altro chiarimento e poi la finisco
Questo esercizio mi chiede anche di verificare se $\F$ sia diagonalizzabile...per farlo mi calcolo il polinomio caratteristico della matrice $\A$ ?

Questo esercizio mi chiede anche di verificare se $\F$ sia diagonalizzabile...per farlo mi calcolo il polinomio caratteristico della matrice $\A$ ?

Certo e troverai che non è diagonalizzabile

P.s. Sopra ho scritto che \( F \) manda i vettori della base canonica nella base di vettori fatta delle colonne di \(A\), ma è un errore: mi è sfuggito che \(A\) è la matrice di \(F\) rispetto a un’altra base. Non cambia nulla ovviamente, ma mi dava fastidio non dirlo.

Grazie mille! Credo di aver compreso.. quindi è un $\F$ è un automorfismo per quella motivazione e in più dovrei aggiungere che $\A$ è la matrice di $\F$ rispetto a un'altra base?