Rotazioni del piano ed equazione di una conica

Anticipatamente grazie!

Ho qualche dubbio relativo alla seguente domanda:

Data la conica C di equazione

5x^2+8y^2−3x−6y = 0

è vero che non esiste nessuna rotazione del piano che trasforma la sua equazione nella forma

αX2 + βY 2 = γ ?

Le coniche ci sono state spiegate senza alcuna dimostrazione e le rotazioni sono state introdotte semplicemente come strumento per ottenere la forma canonica di una conica non degenere.

Alla luce di quello che so, ho controllato che la conica fosse effettivamente degenere ed ho constatato che è un'iperbole, pertanto è sensato chiedere se si possa ottenere la forma richiesta. A questo punto, non mi viene altro da dire che ad una equazione della tipologia di cui sopra, si giunge solitamente con una rotazione e che per ottenere la forma richiesta è necessaria una traslazione.

Qualcuno potrebbe aiutarmi nel fornire una risposta più rigorosa?

Dove sta il centro dell'iperbole $C$?

è un' ellisse
se non ho sbagliato i calcoli, l'equazione si può scrivere nella forma
$5(x-3/10)^2+8(y-3/8)^2=63/40$
operando la traslazione di vettore $(-3/10,-3/8)$ arrivi all'equazione canonica

p.s la rotazione serve quando c'è il termine con xy

Dove sta il centro dell'iperbole $C$?

In (3/10, 3/8). Ho capito di aver sbagliato e che non si tratta di una iperbole ma bensì di una ellissi, ma come mi avrebbe aiutato il centro nel comprendere questo errore?

è un' ellisse
se non ho sbagliato i calcoli, l'equazione si può scrivere nella forma
$5(x-3/10)^2+8(y-3/8)^2=63/40$
operando la traslazione di vettore $(-3/10,-3/8)$ arrivi all'equazione canonica

p.s la rotazione serve quando c'è il termine con xy

Hai ragionissima, ho aggiunto un meno dove non doveva esserci. Come ho scritto sopra, sono a conoscenza (purtroppo senza aver visto la dimostrazione) del fatto che la rotazione elimina il termine in xy, mi pareva semplicemente una risposta poco rigorosa e chiedevo se ve ne fossero di più formalmente pulite. Mi chiedo, nella dimostrazione di questo procedimento, si dimostra soltanto che la somma di una rotazione e di una traslazione portano alla forma canonica o si riesce effettivamente a dividere la cosa e dire che la rotazione elimina il termine in xy e la traslazione quelli in x e y?

Non c'è bisogno di parlare di termine in $xy$. Una conica nella forma $ax^2+by^2=c$ è centrata in $(0,0)$, la tua no. Una rotazione sposta il centro $P$ della tua conica lungo la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $|P|$. Quindi ovviamente non c'è modo di trasformare la tua conica in una centrata in $(0,0)$ solo con una rotazione.

@gnoofu
la seconda che hai detto
quando hai una conica nella forma più generale possibile , se hai il termine con xy applichi prima una rotazione e lo elimini, poi con la traslazione elimini i termini con x e y
ovviamente se non hai il termine con xy applichi direttamente la traslazione

Non c'è bisogno di parlare di termine in $xy$. Una conica nella forma $ax^2+by^2=c$ è centrata in $(0,0)$, la tua no. Una rotazione sposta il centro $P$ della tua conica lungo la circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $|P|$. Quindi ovviamente non c'è modo di trasformare la tua conica in una centrata in $(0,0)$ solo con una rotazione.

Si suppongo sia il modo più pulito per dirlo.

@gnoofu
la seconda che hai detto
quando hai una conica nella forma più generale possibile , se hai il termine con xy applichi prima una rotazione e lo elimini, poi con la traslazione elimini i termini con x e y
ovviamente se non hai il termine con xy applichi direttamente la traslazione

Ok grazie, potrebbe tornare utile esserne certo.

Moderatore: gugo82

@ GN00Fu:
Dal 30-esimo post in avanti è obbligatorio scrivere le formule sfruttando gli strumenti messi a disposizione qui sul forum.
Ricordalo bene.