Esercizio somma di sottospazi con matrici.

Salve,

C'è un esercizio su cui ho un dubbio, in particolare si hanno due insiemi F e G in somma per cui ho trovato dimensioni e basi:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Fatto questo mi chiede data la matrice $C=((0,3),(0,2))$ di scriverla come due matrici C1 e C2 che appartengono a F e G rispettivamente.

La mia idea è stata quindi impostare:

$((0,3),(0,2))=alpha_1((12,-9),(4,0))+alpha_2((1,0),(0,1))+alpha_3((-2,3),(0,0))$

cioè scrivere C come combinazione lineare dei vettori dello spazio somma

E trovo $alpha_1=2$, $alpha_3=1$, tuttavia l'eserciziario dà come risultati:



E non capisco proprio da dove esca quel parametro w, secondo voi che lavoro ha fatto? Non riesco a trovare una idea per ingegnerizzare inversamente lo studio fatto dall'autore. Richiedo una mano a voi per capire come trovare quel risultato

Come dice la traccia: \(C_1\in\mathscr{F},C_2\in\mathscr{G}\), quindi devi scrivere entrambe le matrici come combinazioni delle matrici generatrici!

Ti ringrazio però non riesco a farlo. Provo a spiegare il dubbio:

Seguendo il tuo consiglio avrei rispettivamente le matrici:
$((12alpha+beta,-9alpha),(4alpha,beta))$ e $((-b,9a+b),(4a,b))$ che trovo appunto mettendo le C.L delle due di ciascuno spazio

E quindi dovrei poi scrivere:
$((0,3),(0,2))$ come Cl di quelle due ossia:
$((0,3),(0,2))=x((12alpha+beta,-9alpha),(4alpha,beta))+((-b,9a+b),(4a,b))$
E mi sembra venga fuori un bel pastizzazzo di parametri Quindi devo aver capito male come fare.

Posso chiederti qualche dettaglio in più per capire? Ti ringrazio

Io vedo che ti viene un sistema di \(4\) equazioni in \(4\) incognite... e non c'è bisogno del parametro \(x\)!

Perdonami ho fatto un altro pasticcio con le formule non sono ancora abituato a visualizzarle subito in mente. Volevo dire che dovrei avere:

$((0,3),(0,2))=x((12alpha+beta,-9alpha),(4alpha,beta))+y((-b,9a+b),(4a,b))$ in quanto C.L non ho quindi x e y?

Inoltre come cosa aggiuntiva anche se fosse con 4 eq 4 incognite (cioè a,b,c,d) dovrei in sostanza avere da quel sistema che dici poi un solo parametro libero che sarà il w giusto?

Non ti servono \(x\) e \(y\) perché hai già scritto la combinazione lineare negli scalari \(a,b,\alpha,\beta\)!

Molto gentile!
grazie.