forme bilineari ESERCIZIO che non comprendo in un punto

Ciao a tutti, sono nuovo e inizio subito a chiedere una mano per un esercizio che onestamente non riesco proprio a capire.

Il testo chiede:


Il mio dubbio è sul punto 3, dopo aver trovato una base per F, io ho impostato la ricerca della base fi F ortogonale sfruttando due eqazioni e la matrice rappresentati va di phi (mia forma bilineare). Cioè:

$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$

e

$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$

Questo determina i valori di x,y,z,t del vettore che poi vado a svrivere raccogliendo i parametri liberi per avere una base MA... c'è un...

Però quello che mi esce sono evidentemente due vettori totalmente distinti da quelli che trova l'esercizio per F ortogonale:


CI sono delgi 11/3 che a me non uscirebbero mai!!

Vorrei chiedervi gentilmente una mano per capire dove cavolo sbaglio . Non ci arrivo!

Anche se dovresti avere la soluzione, sei sicuro di aver risposto correttamente al punto 2?

Posso chiederti il perché della domanda?
penso di averla trovata in modo corretto dato che il risultato coincideva e ho così svolto il punto 2:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho ortonormalizzati per ogni autospazio dato che sappiamo per il teorema degli assi principali che esiste la matrice ortogonale diagonalizzante.
Insomma: esiste una base di autovettori ortogonale per V mio spazio vettoriali.

Il gioco è fatt. No? Come mai il tuo dubbio? Grazie ancora.

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Se fosse corretto quanto qui sopra nel mio presente messaggio quindi perché il punto 3 a me non torna, il ragionamento mi sembra corretto. Ho trovato la base di F che coincide con quella del libro e poi ho fatto il procedimento esposto

Probabilmente l'equivoco nasce dal seguente fatto: sembri essere convinto che uno spazio vettoriale (nel caso specifico, $F^(bot)$) abbia un'unica base, invece ne ha infinite. Per esempio lo spazio generato da $(1,2,3)$ e $(1,1,1)$ è uguale allo spazio generato da $(-1,0,1)$ e $(0,1/5,2/5)$. In generale $L(v_1,v_2) = L(w_1,w_2)$ se e solo se $v_1$ e $v_2$ sono esprimibili come combinazioni lineari di $w_1,w_2$ e viceversa.

Scrivi la base di $F^(bot)$ che hai ottenuto.

... ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho ortonormalizzati ...

Un conto è determinare una base ortonormale, prodotto scalare canonico, che diagonalizza una matrice simmetrica, un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico. Insomma, anche se il secondo procedimento è, in gran parte, simile al primo, le due consegne sono concettualmente diverse. Tra l'altro, si dovrebbe comprendere il motivo per cui due consegne così diverse possano essere evase in modo così simile.

... li ho ortonormalizzati ...

Secondo quale dei due prodotti scalari? Voglio dire, ammesso e non concesso che la soluzione riportata dal libro sia quella sottostante:

$[[sqrt2/2],[-sqrt2/2],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt2/2],[sqrt2/2]] ^^ [[sqrt6/6],[sqrt6/6],[0],[0]] ^^ [[0],[0],[sqrt6/6],[-sqrt6/6]]$

gli ultimi due vettori hanno norma unitaria secondo il prodotto scalare non canonico, non secondo il prodotto scalare canonico.

P.S.
Se era già tutto chiaro, tanto meglio.

per rispondere a Martino, io ho calcolato come dicevo:


$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(1,0,-1,2)$

e

$(x,y,z,t)*((2,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,2,-1),(0,0,-1,2))*(0,1,2,1)$

dove ho il sistema di generatori (o meglio base) di F data da (0,1,2,1), (1,0,-1,2) e salvo errori di calcolo trovo base: $B={(1,-1,1/3,1), (0,-1, 2/3, 1)}$







Per rispondere a Noodles su due punti che mi interessano particolarmente:
1) "un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico"
In effetti mi sa che qua a un certo punto avevo fatto un pasticcio e avevo usato il canonico per questo vorrei chiederti se è corretto invece come ho risvolto ora dopo il tuo appunto:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho solo normalizzati in quando ho 4 autovalori distinti quindi gli autovettori sono già ortogonali rispetto al mio prodotto scalare indotto dalla mia matrice. ho in sostanza normalizzato ogni autovettore considerando: $||v||=vMv$ con M la matrice che ho scritto nel primo messaggio. Dovrebbe funzionare giusto?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non mi ero subito accordo dell'errore perché in effetti l'eserciziario dà come base:

che ahimé era ortonormale anche per il canonico!

2) tornando alla domanda n.3 dell'esercizio come gli esca quella base non capisco.

salvo errori di calcolo trovo base: $B={(1,-1,1/3,1), (0,-1, 2/3, 1)}$

E' sbagliato, rifai i calcoli. Per mostrare che è sbagliato basta sostituire questi due vettori nelle equazioni che definiscono l'ortogonale al posto di $(x,y,z,t)$.

Ti ringrazio, domani ci riprovo, tuttavia a me più che il conto che ho fatto qui e a mente non avendo più la brutta dell'esercizio mi importava capire se i punti che proponevo (nel mio ultimo post) fossero corretti nello svolgimento.

In ogni caso non mi uscirebbero mai dai conti (evidentemente) quei risultati della prima foto come base. Quello che volevo capire è se il procedimento fosse giusto, più che altro.
Io ho capito quello che dicevi poco sopra, che forse quella dell'eserciziario è solo un'altra base, però mi chiedo come l'abbia ricavata dato che dai due prodotto matriciali di ortogonalità da me proposti credo non uscirebbero mai.

Ma il problema è che stai chiedendo chiarimenti sul perché ti viene una base sbagliata e non scrivi il procedimento che ti conduce a quella base. Se lo scrivessi ti accorgeresti che c'è un errore, oppure se ne accorgerebbe chi ti legge dopo. Come pensi che ti si possa rispondere se non riporti i tuoi conti? Probabilmente hai seguito un procedimento corretto ma hai fatto qualche errore di distrazione.

Eh si avevo commesso un errore nel risolvere quei due prodotti di 3 matrici. Ora mi viene

Rimane allora solo la curiosità sul punto:

1) "un conto è determinare una base ortonormale di un prodotto scalare non canonico"
In effetti mi sa che qua a un certo punto avevo fatto un pasticcio e avevo usato il canonico per questo vorrei chiederti se è corretto invece come ho risvolto ora dopo il tuo appunto:
ho preso gli autovettori della matrice associata alla forma quadratica, li ho solo normalizzati in quando ho 4 autovalori distinti quindi gli autovettori sono già ortogonali rispetto al mio prodotto scalare indotto dalla mia matrice. ho in sostanza normalizzato ogni autovettore considerando: ||v||=vMv con M la matrice che ho scritto nel primo messaggio. Dovrebbe funzionare giusto?