Sollevamenti in uno spazio non localmente connesso per archi

Sia $Y$ lo spazio connesso per archi ma non localmente connesso per archi costruito a partire da $ {0}xx[-1,1]uu{(x,sin(1/x))|x in(0,1/pi]}subeRR^2$, attaccando una curva che colleghi $(0,0)$ e $(1/pi,0)$ . Quozientando il segmento verticale ${0}xx[-1,1]$ a un singolo punto, si ottiene una mappa quoziente $f:Y->S^1$. Dimostrare che $f$ soddisfa le ipotesi del teorema di sollevamento delle mappe rispetto al rivestimento universale $p:RR->S^1$, ma che non esiste alcun sollevamento continuo $\tilde f:Y->RR$.

Abbiamo che $pi_1(Y)$ e $pi_1(RR)$ sono entrambi banali quindi l'ipotesi $f_{ast}(pi_1(Y))subep_{ast}(pi_1(RR))$ è soddisfata, ma non può esistere una funzione continua da $Y$ a $RR$ poichè $Y$ è compatto e $RR$ non lo è. Volevo però sapere dal punto di vista del sollevamento cosa potrebbe effettivamente andare storto, grazie.

Lol, cosa mi fai ricordare. https://math.stackexchange.com/q/530431/665110