Dubbio su sottospazi affini

Buona sera. Studiando la teoria riguardo la rappresentazione di sottospazi affini, trovo un problema, il testo è il seguente: si consideri uno spazio affine n-dimensionale $(A,V^n,pi)$ nel quale sia fissato un riferimento affine $R=(O,B)$ con $OinA$ e $B={e_1,...,e_n}$. Sia $S=Q+W$ un sottospazio affine di A avente dimensione s. Supponiamo $Q=(q1,...,q_n)$ nel riferimento R e sia ${w_1,...,w_s}$ una base di W dove $w_i=\sum_{k=1}^nw_(ik)e_k$. Il testo continua dopo, ma non ha importanza. Quel che non capisco è questa riga: $w_i=\sum_{k=1}^nw_(ik)e_k$. Perché $w_i$ si scrive in quel modo, e che cos'è $w_(ik)$? Sapreste darmi una spiegazione chiara per favore?

Perché $w_i$ si scrive in quel modo, e che cos'è $w_(ik)$?

Per quale motivo un vettore si scrive come combinazione lineare degli elementi di una base?

Ma i vettori di V e di W, non devono essere linearmente indipendenti? Poi non capisco se quel coefficiente $w_(ik)$ centri qualcosa con il vettore $w_i$

Ma i vettori di V e di W, non devono essere linearmente indipendenti?

Come possono i vettori di \(W\le V\) essere indipendenti da quelli di $V$?!

Poi non capisco se quel coefficiente $w_(ik)$ centri qualcosa con il vettore $w_i$

Certo che "centra" (e semmai, "c'entra"), è la sua proiezione su \(\langle e_i\rangle\).

Ok, effettivamente uno scritto una stupidaggine, stavo pensando al fatto che dovessero formare una base, ma per generare non devono essere per forza linearmente indipendenti. Ma perché usare questo concetto di proiezione ortogonale per esprimere una combinazione lineare. Cioè, perché non chiamare quel coefficiente per esempio $alpha$, qual'è lo scopo di usare la proiezione ortogonale per definire un vettore?

Ho l'impressione tu non abbia capito nulla.

Prima di tutto, la proiezione ortogonale non centra niente. Siccome $B$ è una base di $V$, ogni $w_i$ (che è un vettore di $W$, quindi a fortiori di $V$) si scrive come combinazione lineare \(\sum w_{ik}e_k\).

I \(w_{ik}\) sono semplicemente le componenti di $w$, e quando dico "proiezione" intendo semplicemente che \(w_{ik}e_k\) è l'immagine di $w$ mediante la mappa di proiezione \(\pi_k|_W : W \subseteq V\to \langle e_k\rangle\cong K\).

Adesso, mi è chiaro, è come se io avessi un vettore $v=(1,3,2)$ in una base $B={e_1,e_2,e_3}$ e lo scrivo come $1*e_1+3*e_2+2*e_3$. Mi confondeva il fatto che le componenti del vettore si chiamassero come il vettore stesso

E' quello che si fa solitamente!