Esercizio d'esame su autovalori e autospazi

Buon pomeriggio, avrei bisogno di aiuto in merito al seguente esercizio:
TESTO:
Sia $V = S(2;R)$ lo spazio delle matrici simmetriche reali di ordine 2. Data $AinV$ e la matrice
$M=[[0,1],[-1,0]]$
si consideri l’endomorfismo $finEnd(V)$ definito da $f(A)=M^TAM$

$1)$ Scrivere la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica.
$2)$ Dimostrare che $f$ è diagonalizzabile.
$3)$Determinare gli autospazi di $f$.
TENTATIVO DI RISOLUZIONE:
$1)$ $[f](B)=[[0,0,1],[0,-1,0],[1,0,0]]$
$2)$ La matrice rappresentativa (costruita rispetto a basi ortonormali) è simmetrica, dunque vale il teorema spettrale.
$3)$ $P([f](B))(lambda)= -(lambda−1)(lambda+1)^2$.
Dunque gli autovalori sono $1$ ($ma=1$) e $-1$ ($ma=2$).
Fino a qui sono arrivato (mi confermate che è corretto?), però non capisco come fare ora a trovare gli autospazi, perchè, applicando il procedimento standard, mi viene che $Ker([f](B)-1*Id(3))=span([[1],[0],[1]])$ (l'altro non ho ancora provato a farlo), però non so come interpretare questo risultato, dovrei considerarlo come la mappa delle componenti dell'autospazio?
Grazie mille!