Matrici simili

Ho un dubbio su questa dimostrazione: matrici simili hanno gli stessi autovalori.

Per ipotesi si ha $M=P^-1NP$, dove $M$ ed $N$ sono matrici simili.
$det(M-lambdaI)=det(P^-1NP-lambdaI)=det(P^-1NP-P^-1lambdaIP) = ...$. Ma quindi in generale $lambdaI = P^-1lambdaIP$($I$ è la matrice identità)? Non ho molta confidenza con i prodotti tra matrici, so come si fanno e che in generale non sono commutativi (tranne se moltiplico $M*M^-1 = M^-1*M$), ma ad esempio $P^-1NP != PNP^-1$. Se la matrice identità si comporta come l'elemento neutro della moltiplicazione tra numeri allora la dimostrazione l'ho capita, però avendo così poca confidenza con questi concetti chiedo a voi un chiarimento per essere sicuro.

Studiare l'autoteoria prima di avere confidenza coi prodotti di matrici è nel dizionario alla voce "impresa fallimentare". Non farlo.

E in ogni caso, sì, in ogni monoide $S$ l'elemento neutro $1$ è tale che per ogni $x\in S$, si abbia \(x \cdot 1 = 1\cdot x\), come conseguenza di uno degli assiomi (proprio il fatto che 1 è l'elemento neutro: entrambi quegli elementi sono uguali a $x$); per te $S$ è l'insieme delle matrici quadrate [di taglia $n$] sotto l'operazione di moltiplicazione che (non) conosci.

Studiare l'autoteoria prima di avere confidenza coi prodotti di matrici è nel dizionario alla voce "impresa fallimentare". Non farlo.

Purtroppo l'università mi richiede di avere certe nozioni, credo unicamente finalizzate allo studio di funzione in $RR^2$, io mi ostino a volerci capire qualcosa oltre ad imparare a memoria le definizioni, però mi rendo conto di avere basi carenti un po' in tutto.
Comunque ti ringrazio per la conferma.

@HowardRoark Prova a dimostrare che la matrice identità è l'elemento neutro per il prodotto di matrici quadrate (di fissato ordine).

Non saprei come farlo formalmente, mi limiterei ad osservare che il generico elemento $c_(ij)$ è dato da $c_(ij) = \sum_{k=1}^p a_(ik)*b_(kj)$. Se moltiplico una generica matrice 3x3 $((a,b,c), (d,e,f), (g,h,i))$ per $((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1))$ il generico $c_(ij)$ sarebbe dato da $a_(i1)b_(1j) + a_(i2)b_(2j) + a_(i3)b_(3j)$: per ipotesi tutti i $b_(kj)$ sono nulli tranne uno, che è uguale ad 1. Si ha che $a_(ik)*b_(kj) = a_(ik)$ quando $k=j$, tutti gli altri addendi sono zero, questo secondo me basta a concludere la dimostrazione.

Sì, giusto.