Problema con ellisse

Buon giorno. Ho questo problema: nel piano euclideo con riferimento cartesiano $Oxy$ si consideri l'ellisse avente centro $C = (3, -2)$, un semiasse di lunghezza $1/sqrt(2)$, il punto $V = (2, -4)$ sia un vertice e la tangente in esso abbia equazione $x+2y+6=0$. Determinare una forma canonica dell'ellisse e una isometria che lo porta in tale forma. Dopo aver determinato l'equazione cartesiana dell'ellisse e le coordinate dei suoi fuochi.

Per trovare la forma canonica dell'ellisse e una forma canonica, mi cerco prima un po di dati: conoscendo una retta tangente ad un vertice, deduco che il suo vettore direttore è parallelo o all'asse X nel riferimento canonico o all'asse Y. A prescindere da questo, sapendo uno trovo l'altro asse, che posso terminare anche grazie al fatto che passa per il centro. Una volta che ho gli assi di simmetria, mi posso trovare anche i vertici, sapendo la distanza del semiasse. Con questi dati dovrei poter procedere a trovare una forma canonica e un'isometria che la riporta in quella forma, giusto?

Se ciò che ho scritto sopra è corretto, ho fatto così: ho trovato la retta per i punti $C$ e $V$ e quella a essa ortogonale. Ho trovato così i due assi: $X: x+2y+1=0$ e $Y:y-2x+8=0$ e ho dedotto dalle coordinate del vertice che appartiene all'asse $Y$. Ho trovato la matrice di rotazione: $((1/sqrt(5), 2/sqrt(5)),(-2/sqrt(5), 1/sqrt(5)))$, dalla formula di cambio di riferimento ho trovato che $\{(x=1/sqrt(5)(X-2)-2/sqrt(5)(Y+4)),(y=2/sqrt(5)(X-1)+1/sqrt(5)(Y+4)):}$

da cui ho ricavato che
$\{(x=X/sqrt(5)-2Y/sqrt(5)-10/sqrt(5)),(y=2/sqrt(5)X+Y/sqrt(5)):}$

Ora per trovare la forma canonica del tipo $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ non so come ricavarmi $a$ e $b$ nel nuovo riferimento. Potreste aiutarmi per favore?

La lunghezza $CV$ e' $\sqrt 5$ che e' l'altro semiasse.

L'eq canonica dell'ellisse e' $(x/a)^2+(y/b)^2 = 1$ con $a.b$ i due semiassi.

Quindi l'eq. canonica e' $x^2 / 5 + 2y^2 = 1$.

Adesso dobbiamo fare 2 operazioni: prima una rotazione e poi una traslazione.

Usando il sistema con i coefficienti che gia' hai trovato:

$ \{(x=X/sqrt(5)+2Y/sqrt(5)),(y=2/sqrt(5)X-Y/sqrt(5)):} $

facciamo le sostituzioni nell'eq. canonica:

$(X/sqrt(5)+2Y/sqrt(5))^2 / 5 + 2(2/sqrt(5)X-Y/sqrt(5))^2 = 1$.

Il centro non si e' spostato, giusto ? Abbiamo fatto una rotazione che non sposta il centro.

Quindi adesso spostiamo il centro con questo cambio:

$X = X'-3$
$Y = Y'+2$

e di nuovo facciamo le sostituzioni:

$((X'-3)/sqrt(5)+2(Y'+2)/sqrt(5))^2 / 5 + 2(2/sqrt(5)(X'-3)-(Y'+2)/sqrt(5))^2 = 1$.


Adesso si potrebbe semplificare questa equazione, e' solo un calcolo aritmetico.

Per esplicitare l'isometria prendi il sistema che fa la rotazione
$ \{(x=X/sqrt(5)+2Y/sqrt(5)),(y=2/sqrt(5)X-Y/sqrt(5)):} $
e di nuovo fai la traslazione del centro.

Per trovare i fuochi di un'ellisse in forma canonica, hai che i due vertici devono avere la stessa distanza dai fuochi (la somma e' invariante).

$2b - F = 2\sqrt(F^2 + a^2)$

E' un eq. quadratica, trovi $F$ in funzione dei semiassi.

Poi con l'isometria puoi ruotare e traslare anche i fuochi.

Adesso si potrebbe semplificare questa equazione, e' solo un calcolo aritmetico.

Dovrebbe venire $13X^2+22Y^2+12XY-30X+36Y+31=0$

Per esplicitare l'isometria prendi il sistema che fa la rotazione
$ \{(x=X/sqrt(5)+2Y/sqrt(5)),(y=2/sqrt(5)X-Y/sqrt(5)):} $
e di nuovo fai la traslazione del centro.

Per questo l'isometria può essere scritta così:
$\{(x=(X+2Y+1)/sqrt(5)),(y=(X+6)/sqrt(5)):}$

Ti ringrazio tantissimo per la spiegazione chiarissima!