Problema con iperbole

Buona sera. Ho questo problema sull'iperbole: nel piano euclideo con riferimento cartesiano si consideri l'iperbole C passante per il punto $A=(4,1)$ ed avente fuochi $F_1=(3,4)$ e $F_2=(-2, -1)$. Determinare una forma canonica di C e una isometria che riduce C in tale forma canonica. Determinare, nel riferimento cartesiano R, l'equazione cartesiana dell'iperbole e dei suoi asintoti.

Se non ho sbagliato procedimento, mi sono ricavato la matrice di rotazione $P=((sqrt(2)/2, -sqrt(2)/2),(sqrt(2)/2, sqrt(2)/2))$.

Il problema però e determinare il vettore di traslazione, non credo di avere a disposizione molte informazioni. Se avessi avuto un'asintoto e un asse di simmetria allora sarebbe stato immediato. Sapreste aiutarmi a sbloccarmi per favore?

Se provi a fare uno schizzo di una iperbole qualsiasi sarà immediato capire come calcolare il centro.

Ah, forse ci sono anche se l'ho immaginata in mente, dato che conosco le coordinate dei fuochi nel sistema non canonico, il centro è il punto medio tra i due fuochi

Esatto.

Bene, ora vorrei arrivare a questa forma: $u^2/a^2-v^2/b^2=1$ e ho questo: $((u),(v))=((sqrt(2)/2, sqrt(2)/2),(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2))((x-1/2),(y-3/2))$. Per trovare ora $a$ e $b$ posso sfruttare da una parte il punto di passaggio, ma non mi basta. Mi può essere utile usare la formula $c^2=a^2+b^2$ dove $c$ è uno dei due fuochi?

Ottimo! Ora ricorda che in geometria euclidea si definisce iperbole il luogo dei punti \(P\) del piano tali che \(\left|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}\right|=\text{costante}\). In particolare, nella forma canonica che hai riportato i vertici hanno coordinate \((u_V,v_V)=(\pm a,0)\) e i fuochi hanno coordinate \((u_F,v_F)=(\pm \sqrt{a^2+b^2},0)\). In tal modo hai tutte le informazioni per calcolare la lunghezza dei semiassi \(a>0\) e \(b>0\).