Pagnotta sferica

Salve
Nel bel libro di David Acherson "Viaggio nel calcolo infinitesimale" viene ricordato un risultato già noto ad Archimede, ossia il fatto che si taglia una pagnotta sferica in fette di ugual spessore le loro superfici (la crosta) è uguale fra di loro.
Mi piacerebbe sapere la dimostrazione e chi fu a scoprirla.

Data una superficie regolare \(\mathbf{r}:D\to\mathbb{R}^3\) di legge: \[
\mathbf{r}(u,v):=\left(\sqrt{r^2-v^2}\cos(u),\sqrt{r^2-v^2}\sin(u),v\right),
\quad (u,v)\in D:=[0,2\pi)\times[z_0,z_0+s]
\] si definisce area di \(\mathbf{r}\) il numero positivo: \[
A(\mathbf{r}):=\iint\limits_D ||\mathbf{r}_u(u,v) \land \mathbf{r}_v(u,v)||\,\text{d}u\,\text{d}v = r\int_0^{2\pi} \text{d}u \int_{z_0}^{z_0+s} \text{d}v = 2\pi rs.
\] D'altro canto, si può arrivare a tale risultato anche tramite una proporzione: \[
4\pi r^2:2r=A:s\quad\Leftrightarrow\quad A=\frac{4\pi r^2\cdot s}{2r} = 2\pi rs
\] seppur non sappia se sia lecito e men che meno se sia quanto fatto da Archimede.

grazie della risposta per me troppo dotta, potrebbe semplificarla? Secondo me si potrebbe portare il problema nel piano anzichè nello spazio, data una circonferenza di raggio $r$ tagliata da un fascio di rette parallele distanti fra loro $s$ esse individueranno degli archi di circonferenza $l_1,l_2,....$, basterà allora dimostrare che tali archi sono fra loro uguali.

Allego la mia dimostrazione


E' corretta?

...ma cos'è una pagnotta sferica?

Una sfera, solida. Mai sentito come termine ma è carino. Tra l'altro il problema prevede di affettare la pagnotta, ha senso.