esercizio topologia più grande e più piccola

Sto svolgendo gli esercizi del primo capitolo del libro General Topology di John Kelley, ma non capisco questa affermazione che dovrei dimostrare: "For any collection of topologies for $X$ there is a unique largest topology which is smaller than each member of the collection, and a unique smallest topology which is larger than each member of the collection."

Moderatore: Mephlip

@Cannone Speciale: Le domande di topologia appartengono alla sezione di Geometria.

E’ semplicemente una domanda scritta in modo molto colloquiale. Traduco. Sia $X$ uno spazio topologico e sia $\{T_i\}_{i \in I}$ una famiglia di topologie su $X$. Sia $\{U_j\}_{j\in J}$ la collezione di tutte le topologie su $X$ con la proprietà che $U_j\subseteq T_i$ per ogni $i,j$. Allora $\{U_j\}_{j\in J}$ contiene un unico elemento massimale, rispetto alla relazione d’ordine data dall’inclusione. L’altra parte e’ simmetrica.

E’ semplicemente una domanda scritta in modo molto colloquiale. Traduco. Sia $X$ uno spazio topologico e sia $\{T_i\}_{i \in I}$ una famiglia di topologie su $X$. Sia $\{U_j\}_{j\in J}$ la collezione di tutte le topologie su $X$ con la proprietà che $U_j\subseteq T_i$ per ogni $i,j$. Allora $\{U_j\}_{j\in J}$ contiene un unico elemento massimale, rispetto alla relazione d’ordine data dall’inclusione. L’altra parte e’ simmetrica.

Anche questo è un po' colloquiale, infatti c'è differenza tra elemento massimale e massimo: un elemento massimale di un ordine parziale \((P,\le)\) è un elemento \(x\in P\) tale che se \(x\le a\) allora \(a\le x\) (e quindi \(a=x\): "niente che sia confrontabile con $x$, e maggiore di $x$, può essere diverso da $x$"). Per contro, la condizione di essere un massimo non richiede la precondizione "essere confrontabile": dato un sottoinsieme \(S\subseteq P\), il massimo di $S$, se esiste, è un elemento \(s^*\in S\) tale che \(a\le s^*\) per ogni \(a\in S\), e tale che, per ogni altro \(y\), se \(a\le y\) per ogni $a$, allora \(s^*\le y\).

Che ci sia differenza tra un elemento massimale ed un massimo lo so anch'io; d'altra parte un massimo è anche massimale quindi la formulazione della domanda non ha granchè di colloquiale, semplicemente è uno statement un po' più debole.

Facciamo l'esercizio.

Sull'insieme \(PPX\) delle parti delle parti di un insieme $X$ è definita una relazione d'ordine parziale detta "finezza": un insieme di sottoinsiemi \(\mathcal E=\{E_\alpha\mid \alpha\in A\}\) è più fine di un insieme di sottoinsiemi \(\mathcal F=\{F_\beta\mid \beta \in B\}\) se \(\mathcal E\subseteq\mathcal F\).

Ora, è evidente che, essendo un reticolo completo, \(PPX\) ammette sup e inf arbitrari; resta da controllare che la definizione di sup e inf di topologie definisce a sua volta una topologia.

Del resto, data una famiglia \(\{\tau_\alpha\mid \alpha\in A\}\) di topologie su $X$, si ha
\[\bigwedge_{\alpha\in A}\tau_\alpha = \{U\subseteq X\mid \forall \alpha\in A.U\in \tau_\alpha\}\] Mostrare che questa è una topologia è semplicemente una verifica degli assiomi.

Con i sup è piu complicato: \(\bigvee_{\alpha\in A} \tau_\alpha = \{U\subseteq X\mid \exists \alpha\in A.U\in \tau_\alpha\}\) potrebbe non essere una topologia, ma la famiglia di sottoinsiemi ottenuta prendendo intersezioni finite di unioni arbitrarie di elementi di \(\bigvee_{\alpha\in A} \tau_\alpha\).

Ultima modifica di megas_archon il 26/03/2024, 11:46, modificato 1 volta in totale.

megas_archon io vorrei poterti ringraziare per le risposte che mi dai, ma ogni volta sembra che fai apposta a renderle incomprensibili usando concetti avanzati che ancora non conosco e alla fine le tue risposte per me sono inutili. In questo caso non so cosa sia un reticolo completo.
Inoltre vorrei anche far notare forse un errore nella tua risposta: l'unione di topologie non è detto che sia una topologia, mentre l'intersezione si.

E' vero, in generale l'unione di topologie è solo una sottobase. Dopo devi considerare la topologia che ha quella come sottobase.

Per quanto riguarda questo:

ogni volta sembra che fai apposta a renderle incomprensibili usando concetti avanzati che ancora non conosco

è evidente che lo faccio apposta...

e qual è allora il tuo scopo a farlo apposta?

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

e qual è allora il tuo scopo a farlo apposta?

Costringerti a incontrare concetti troppo avanzati, facendoti violenza; dalla tua reazione (li eviti perché ne sei intimidito, o al contrario te ne senti stimolato, o qualsiasi reazione intermedia) deduco la forza del tuo carattere e se, in futuro, è una perdita di tempo o no prestarti attenzione.

Soprattutto, tu (=il tu generico che apre i thread, non tu-tu) sei raramente l'interlocutore di queste conversazioni: ci sono molti modi di risolvere un esercizio, uno può semplicemente farlo, mediante strumenti adeguati al livello del richiedente, oppure brutalizzare il richiedente con un argomento che cerca di essere quanto piu astratto possibile. Senza contare che gli esercizi, qui, chiedono quasi sempre le stesse quattro cose, serve inventarsi un modo sempre nuovo di rispondere, per non annoiarsi.

Io parlo a chi trova gradevole o utile la seconda cosa. E a me stesso: come hai visto, è facile fare degli errori quando si propone una linea di ragionamento eminentemente astratta. Rispondere a domande elementari usando ordigni atomici è, per me, un esercizio utile a farlo sempre meglio e con forza sempre maggiore. Nel caso avessi dei dubbi, sta sicuro che di te o di aiutare te mi importa esattamente zero. Mi importa di me, e di quanto sono padrone io dei concetti che uso, e di come operare sul margine di miglioramento che ancora ho.

In sintesi, questa è una via di mezzo tra masturbazione, automiglioramento, adescamento e una prova di taglio.