Dimostrazione: Distanza di un punto da una retta

Ovviamente mi riferivo alla dimostrazione

Allora: prendo la retta perpendicolare al piano $pi: ax+by+cz+h=0$ e passante per il punto $P=(x_0;y_0;z_0)$:

$((x),(y),(z)) = ((x_0),(y_0),(z_0)) + t 1/(sqrt(a^2+b^2+c^2)) ((a),(b),(c))$

calcolo l'intersezione $Q$ con il piano e poi calcolo la lunghezza del segmento $PQ$, che coincide
con il modulo del parametro $t$.
(Ho normalizzato il vettore $((a),(b),(c))$).

Ovviamente mi riferivo alla dimostrazione

Allora: prendo la retta perpendicolare al piano $pi: ax+by+cz+h=0$ e passante per il punto $P=(x_0;y_0;z_0)$:

$((x),(y),(z)) = ((x_0),(y_0),(z_0)) + t 1/(sqrt(a^2+b^2+c^2)) ((a),(b),(c))$

calcolo l'intersezione $Q$ con il piano e poi calcolo la lunghezza del segmento $PQ$, che coincide
con il modulo del parametro $t$.
(Ho normalizzato il vettore $((a),(b),(c))$).

I conti sono facili: sostituendo nell'equazione cartesiana del piano $pi$ si trova che

$a (x_0 + ta/(sqrt(a^2+b^2+c^2))) + b (y_0 + tb/(sqrt(a^2+b^2+c^2))) + c (z_0 + tc/(sqrt(a^2+b^2+c^2))) + h = 0$

ricavando $t$ dall'equazione appena scritta si ottiene:

$t \cdot (1/sqrt(a^2+b^2+c^2)) \cdot (a^2+b^2+c^2) = - (ax_0 + by_0 + cz_0 + h)$

semplificando otteniamo:

$t = - (ax_0 + by_0 + cz_0 + h)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$

A noi interessa il modulo di $t$ per cui abbiamo:

$|t| = (|ax_0 + by_0 + cz_0 + h|)/(sqrt(a^2+b^2+c^2))$.

...minimizzare la parte di equazione dipendente da x...

A questo proposito, premesso che la dimostrazione di Martino, svolta, porta al risultato voluto, mi sorge un dubbio: trovando il minimo di x²(1+m)-2x(xo-m•q+m•yo), ad es. derivando e ponendo a zero, non si sta considerando il coeff. ang. m alla stregua di una costante? Perché, invece, minimizzare la distanza tra un punto ed una retta significa approssimare il segmento tra il punto e la retta a quello perpendicolare (che sarà appunto quello di lunghezza minore). In sostanza il dubbio riguarda il fatto che nella ricerca del minimo (in lunghezza) tra P e r, non si può prescindere dalla variabile m (inclinazione del segmanto)... Il mio è un dubbio. Buona giornata. Luca

In risposta al mio stesso intervento qui sopra:

Credo di aver risolto il mio dubbio: nel senso che il coefficiente angolare "m" è proprio una costante. Infatti esso si riferisce alla retta r (espressa dalla y=mx+q nel testo del problema) e non al segmento PQ. La retta r è un riferimento geometrico fisso, mentre a muoversi lungo di essa (secondo la stessa legge) è il punto P.

Nell'equazione:

x² - 2•xo•x + m²•x² + 2•m•q•x - 2•m•yo•x

di cui cercavamo il minimo, x è effettivamente l'unica variabile, mentre m (e q) sono parametri costanti della retta r. Quindi ha senso (ad esempio) derivare quest'ultima espressione rispetto ad x per cercarne il minimo.

Spero che questa, sul punto, resti l'ultima mia errata corrige... Buona sera.

Sì, mi torna tutto.