Algebra applicazioni

Salve a tutti. Volevo un parere su questo esercizio.

Sia f : R^3 --> R^2 / f(x,y,z)-->(x + y, y + z);

Calcolare:

1) base KerF e dim Kerf

2) base ImF e dim ImF

3) vedere se f è iniettiva e suriettiva.


Ora io ho fatto così:

2)

e_1 = (1,0,0) --> f(1,0,0) = (1,0);
e_2 = (0,1,0) --> f(0,1,0) = (1,1);
e_3 = (0,0,1) --> f(0,0,1) = (0,1);


poi ho formato la matrice A:

1 1 0
0 1 1

da cui si vede subito che:

rango A = dim ImF = 2

una base è data della colenne che coinvolgono il minore, cioè:

base ImF = {(1,0) (1,1)}


Poi

1)

Ho applicato la definizione di nucleo, cioè

KerF = {(x,y,z) di R^3 / f(x,y,z) = (x + y, y + z) = (0,0)};

quindi:

x + y = 0
y + z = 0

da cui ho una variabile libera y. (cioè dim KerF = 1)
(Si poteva fare anche con il teorema della dimansione cioè: dim R^3 - dim Imf = dim KerF )

Una base sarà formata da tutti e soli i vettori del tipo:

base KerF = { -y, y, -y};

quindi scegliendo y = 1 trovo:

base KerF = { -1, 1, -1};



dopo

3)

Affinche f sia iniettica, deve essere necessariamente KerF ={0};
poichè KerF = 1 essa non è iniettiva.

Invece f è suriettiva poichè la dimensione dell'immagine di f coincide con quella dello spazio di arrivo R^2

dim ImF = R^2 = 2 cioè f è suriettiva.





Secondo voi è giusto? (In particolare il secondo e il terzo punto.)

I) E sempre vero che quando dim ImF = dim spazio di arrivo f è suriettiva?
II) In precedenza nel punto 2 avevo considerato la matrice anzicchè per colonne per righe cioe,

10
11
01

facendo così....è vero che la base Im f sara data delle righe linearmente indipendenti?

III)
Secondo voi una volta trovati i vettori di arrivo come mi conviene scrivere la matrice per trovare una base dell'immagine,
con la sua dimensione? (trovo un po di difficolta nell'impostazione della matrice)

Grazie anticipate.

Ho guardato rapidamente la tua soluzione : è corretta .
Dim ker f = 1 , una base di ker è : (-1,1,-1) come dici oppure anche ( 1,-1,1) etc.
Dim Im f = 2 , quindi Imf = R^2 e pertanto puoi prendere come base i vettori canonici : $e_1=(1,0) ; e_2=(0,1)$
ma anche quelli che dici tu vanno benissimo.
Non è iniettiva ma è suirettiva .
Se tu avessi risolto prima il punto 1 arrivando alla conclusione che dim ker f = 1 , come in effetti sei arrivato dopo , potevi subito concludere per il teorema della dimensione che Dim Im f = 2 e quindi Imf coincide con R ^2.

Camillo

Va bene, ti ringrazio camillo. Sono contento di essere riuscito a capirci qualcosa. ciao