Esercizio su circonferenze

Si trovi la circonferenza tangente in (0,0) all'asse y e passante per Q(1,4)

Io l'ho risolto in modo intuitivo, vedendo subito che ha centro C(a,0) e impondo OC=CQ.

Come si puo' pero' risolvere utilizzando il concetto di fascio di circonferenze (imponendo cioe' al generico fascio determinate condizioni, etc)? Il concetto stenta ad entrarmi nella zucca.

Considera il fascio generato da queste due crf. un po' particolari ma comode da usare:
* l'asse y , di equazione : x = 0 a cui la crf. richiesta deve essere tangente
*la crf. di centro (0,0) e raggio 0 , di equazione : $x^2 +y^2 = 0$ a cui la crf. richiesta dovrà pure essere tangente.
Fai la combinazione lineare delle due e ottieni :

$ x^2 +y^2 +kx = 0 $ ; imponendo adesso il passaggio per il punto ( 1,4) ottieni per k il valore -17.
Quindi l'equazione cercata è : £ x^2+y^2-17x=0 $

Camillo

Camillo grazie mille, come sempre sei stato chiarissimo.

Per chiudere la saga sul concetto di fascio di circonferenze mi poi solo confermare se cio' che scrivo sotto (dall'altro thread) e' giusto:

"Vediamo un attimo: abbiamo l'equazione di un generico fascio di circonferenze, inserisco le CF1 e CF2 date (che so che non sono concentriche e non hanno punti in comune) e poi pongo a = 1 e b = 2 (esempio). Il risultato dell'equazione rappresentera' UNA circoferenza sola (con il centro su una retta perp all'asse radicale ma senza altre caratteristiche particolari), giusto?"

La risposta è sì, se le due crf. generatrici non sono concentriche e non hanno punti in comune allora anche ogni crf. del fascio non è concentrica e non incontra nessuna delle generatrici( ho una dimostrazione che metterò domani) e ha centro su una retta perpendicolare all'asse radicale ; certo se assegni ai coefficienti a, b della combinazione lineare un valore numerico ottieni una sola crf: perchè hai dubbi su questo ?
Per usare bene i fasci nella risoluzione degli esercizi devi essere più " disinvolto " , usa a piene mani crf. che sono in realtà crf degeneri. tipo rette tangenti , crf. di raggio nullo etc.

Camillo

Perfetto, grazie ancora.

Se 2 crf non sono concentriche e non hanno punti comuni allora qualunque crf del fascio non interseca nessuna delle due crf. generatrici .
Dimostrazione
Sia : $ x^2+y^2 +ax+by +c = 0$ l'equazione di una delle due crf. generatrici ; la indicherò sinteticamente come :

$C1 = 0 $
analogamente l'equazione dell'altra crf. generatrice sarà :

$C2 = 0 $
Poichè per ipotesi le due crf. non hanno punti in comune allora il sistema formato dalle due equazioni :

$( C1= 0$
$)C2 = 0 $
non ha soluzioni reali.

Scrivo adesso l'equazione di una generica crf. del fascio , combinazione lineare delle due crf e tale equazione sarà :

$k*C1 +C2 = 0$
Adesso cerco se esistono intersezioni tra questa ultima crf. e una delle due generatrici (ad es. C1)e quindi cerco le soluzioni del sistema :
$( k*C1 +C2 =0 $
$)C1 = 0 $
da cui ottengo il sistema conseguente ed equivalente :
$(C2 = 0$
$(C1 = 0 $
che per ipotesi non ha soluzioni ; quindi la generica crf del fascio non interseca una delle generatrici , C1, analogamente si dimostra che non interseca neanche l'altra generatrice .

Camillo