[Controlli Automatici] Calcolo trasformata Z

Salve, avrei un esercizio sulla trasformata Z che non ho ben capito come svolgere; ho subito pensato a sfruttare la periodicità trovando una base di campioni, utilizzando poi la proprietà di trasformazione delle funzioni periodiche, però non riesco a trovare alcuna base e dunque non so in che altro modo procedere. Allego l'immagine dell'esercizio. Grazie in anticipo.

Alcuni esercizi sulla trasformata Z sono piu' semplici di quello che si pensi.
In ogni caso penso che questo esercizio abbia un vizio formale e adesso ci arriviamo.
Per il teorema di Shannon l'onda va campionata con una frequenza almeno doppia di quella del segnale.
Quindi il doppio e' $4 "rad"/"s"$ ovvero $2/\pi Hz$.
Quindi il passo di campionamento deve essere minore di $\pi/2 s$.
Ora, non si capisce se l'esercizio vuole un passo di campionamento che sia comunque un sottomultiplo del periodo (e in questo caso l'esercizio e' semplice) o se il teorema di Shannon va rispettato alla lettera e allora le cose si complicano molto.
Io faccio la versione semplice.
Prendiamo quindi $4$ campioni ogni periodo (poteva essere anche $3$).
La sequenza dei campioni e' $x_1[n] = {-1, 1, 1, -1, ...}$ e la sequenza si ripete ovviamente con periodo $4$.
Se prendiamo il modulo e' tutto ancora piu' semplice:
$x_2[n] = |x_1[n]| = {1,1,1,1,1,............}$
la cui trasformata Z e' banalmente $X_2(z) = 1/(1-z^{-1})$.
Per me l'esercizio sarebbe concluso qui, pero' come dicevo rimane il dubbio sul passo di campionamento.

Alcuni esercizi sulla trasformata Z sono piu' semplici di quello che si pensi.
In ogni caso penso che questo esercizio abbia un vizio formale e adesso ci arriviamo.
Per il teorema di Shannon l'onda va campionata con una frequenza almeno doppia di quella del segnale.
Quindi il doppio e' $4 "rad"/"s"$ ovvero $2/\pi Hz$.
Quindi il passo di campionamento deve essere minore di $\pi/2 s$.
Ora, non si capisce se l'esercizio vuole un passo di campionamento che sia comunque un sottomultiplo del periodo (e in questo caso l'esercizio e' semplice) o se il teorema di Shannon va rispettato alla lettera e allora le cose si complicano molto.
Io faccio la versione semplice.
Prendiamo quindi $4$ campioni ogni periodo (poteva essere anche $3$).
La sequenza dei campioni e' $x_1[n] = {-1, 1, 1, -1, ...}$ e la sequenza si ripete ovviamente con periodo $4$.
Se prendiamo il modulo e' tutto ancora piu' semplice:
$x_2[n] = |x_1[n]| = {1,1,1,1,1,............}$
la cui trasformata Z e' banalmente $X_2(z) = 1/(1-z^{-1})$.
Per me l'esercizio sarebbe concluso qui, pero' come dicevo rimane il dubbio sul passo di campionamento.

Va bene, grazie mille per la risposta. Per quanto riguarda quel dubbio proverò ad informarmi direttamente con il professore.