Segnali passabasso

Vedo ora il post di Luca : ottimo e molto intuitivo purchè ti sia chiaro che cosa vuol dire modulare un segnale e come si ottiene lo spettro del segnale modulato.

Sì, un'idea della modulazione la tengo, poiché l'ultima lezione del corso che sto seguendo ora verteva proprio su di essa. Un'idea fisica della questione a dire il vero già ce l'avevo, l'esame di teoria dei segnali l'ho già dato l'anno scorso... adesso ne sto studiando uno che rappresenta per così dire il seguito. Ricordo bene la tabella delle trasformate notevoli: la trasformata della rect (quella che Camillo chiama impulso rettangolare) è una sinc ($sint/t$). Ciò che mi manca è la dimostrazione matematica rigorosa... Vabbè pazienza, grazie lo stesso a tutti. Qualora qualcuno la riuscisse a trovare in futuro, gradirei se me la mostrasse


Una domanda per Luca.barletta: come fai a dire che $sint$ è l'inviluppo di $sint * sin1000t$? Senza tracciare il grafico ovviamente
Voglio dire, in generale quando ha senso parlare di inviluppo di un segnale e come si trova tale inviluppo?

Una domanda per Luca.barletta: come fai a dire che $sint$ è l'inviluppo di $sint * sin1000t$? Senza tracciare il grafico ovviamente
Voglio dire, in generale quando ha senso parlare di inviluppo di un segnale e come si trova tale inviluppo?

Quando un segnale $x(t)$ viene modulato in ampiezza tramite una portante sinusoidale $y(t)$, ovvero $z(t)=x(t)*y(t)$, ebbene $x(t)$ è sempre l'inviluppo di $z(t)$; infatti lo spettro $Z(f)$ non è altro che $X(f)$ a meno di una traslazione in frequenza.

In generale, parlando di segnali in campo complesso, l'inviluppo complesso $x(t)$ di un segnale $z(t)$, detto anche equivalente passa-basso, si ottiene dalla seguente:

$z(t)=Re[x(t)*e^(j2pift)]$

Il passaggio inverso lo lascio a te visto che hai studiato teoria dei segnali

l'inviluppo complesso è detto anche equivalente passabasso?

come passaggio inverso intendi questo: $x(t)=z(t)e^(-j2pift)$?

in ogni caso a teoria dei segnali non abbiamo trattato inviluppo, modulazione e significato di alte e basse frequenze... ci siamo concentrati molto sui sistemi LTI e sulla probabilità

Esatto, ma ci vorrebbe anche un filtraggio passa basso; equivalente passa basso e inviluppo complesso sono sinonimi nella teoria dei segnali.

Ok luca.barletta, grazie dei chiarimenti e grazie anche a camillo e lupo grigio. Abbiamo creato su matematicamente il dipartimento di telecomuncazioni

bhè, mi sembra un dipartimento ben nutrito

Complimenti a tutti per lo straordinario spirito di semplicità dimostrato in questi topic. Gli ingegneri vadano sempre fieri di tale spirito: è una loro esclusiva, che li rendono uomini di cultura vasta e profonda, semplice e diretta, chiara ed inequivocabile.

Vi propongo una risposta ancora più veloce:
frequenza e tempo sono inversamente proporzionali, quindi segnale più veloce implica meno tempo, dunque più frequenza.

Ora provo a formalizzare matematicamente quanto detto da Kroldar.

Dai vostri discorsi emerge che intendete per ripidità del segnale il massimo valore assoluto della derivata.

Il valore assoluto dell'integrale non supera l'integrale del valore assoluto, quindi, ricordando che F(dx/dt)=j2*pi*f*X(f), calcolo la derivata come antitrasformata del suo spettro e ne calcolo il valore assoluto:

abs(dx/dt)=abs(int(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft)*df)<=int(abs(j2*pi*f*X(f)*exp(j2*pi*ft))*df)=2*pi*int(abs(f*X(f))*df)

quindi abs(dx/dt)<=2*pi*int(abs(f*X(f))*df) intendendo gli integrali calcolati su tutto l'asse dei tempi.

Introduco la funzione I(W)=2*pi*int(-W,W)(abs(f*X(f))*df).
Allora ottengo:

abs(dx/dt)<=I(W) (1)
se X(f)=0 per abs(f)>=W, ossia se la banda del segnale x(t) è W.

La funzione I(W) è crescente perché la funzione integranda è non negativa.

Dunque, la (1) ci dice che diminuendo la banda, la massima rapidità che il segnale PUO' assumere (non è detto che la assuma!) diminuisce.

Interpretazione elettronica, lo slew rate: per evitare distorsioni, la variazione del segnale in ingresso non deve essere più veloce della scarica dei condensatori. Non a caso la costante tempo di un circuito RC è il reciproco della pulsazione di taglio.

Mysterium ti ringrazio per la spiegazione, la trovo molto chiara e precisa.

Grazie a te, kroldar, per l'apprezzamento; ti preciso che quanto detto vale, ovviamente, solo per segnali reali (come sai benissimo, in tal caso, lo spettro di ampiezza è pari, quello di fase è dispari, dunque posso limitarmi a considerare solo le frequenze positive).

Nota che la relazione

abs(dx/dt)<=2*pi*int(abs(f*X(f))*df)

ci dice, grazie al prodotto f*X(f), che le armoniche ad alta frequenza hanno un peso maggiore nel contributo all'integrale che determina la massima pendenza, in valore assoluto, del segnale.
Intuitivamente, avremmo dovuto aspettarci che la MASSIMA velocità del segnale fosse determinata prevalentemente dalle alte frequenze, cioè quelle a MASSIMA velocità.

Più precisamente, ricordiamo da Analisi I che l'integrale improprio suesposto converge se e solo se il modulo della funzione integranda è un infinitesimo, per f che va a infinito, di ordine superiore a 1/f, cioè se lim f^2*X(f)=0 per f che va ad inf, cioè se lo spettro è infinitesimo di ordine superiore a 1/f^2, ordine molto molto alto.