Modulazione d'angolo (1)

Iniziando a studiare la modulazione d'angolo ho visto che, in caso di modulazione FM, la "fase istantanea" o "deviazione di fase" $phi(t)$ è data da:

$phi(t) = 2pik_f * int_(-oo)^t m(lambda) dlambda$ dove $m(t)$ è il segnale modulante

Ipotizziamo ora $m(t)=cos(2pif_mt)$... il segnale modulato sarà $u(t)=A_c cos(2pif_ct + 2pik_f * int_(-oo)^t cos(2pif_mlambda) dlambda)$

L'integrale di $cos(2pif_mlambda)$ è $(sin(2pif_mlambda))/(2pif_m)$, che andrebbe valutato in $-oo$ e in $t$.

Il mio testo non lo valuta in $-oo$ (tra l'altro sarebbe impossibile) e scrive direttamente:

$u(t)=A_c cos(2pif_ct + k_f/f_m sin(2pif_mt))$

Ora mi chiedo: non è lecito nella risoluzione di un integrale non tenere conto dell'estremo inferiore di integrazione... perché il mio testo fa così?

è quello che mi chiedo anch'io

Matematicamente non è il massimo della correttezza, però tieni conto che in questi casi per $-infty$ si intende solo il punto di inizio della trasmissione. Visto che si ipotizza una trasmissione continua, si fa tendere questo istante di inizio a $-infty$.

Matematicamente non è il massimo della correttezza, però tieni conto che in questi casi per $-infty$ si intende solo il punto di inizio della trasmissione. Visto che si ipotizza una trasmissione continua, si fa tendere questo istante di inizio a $-infty$.

Ok ma come esce fuori che $(sin(2pif_mlambda))/(2pif_mlambda)$ valutata all'istante dell'inizio della trasmissione è nullo? Posso iniziare una trasmissione con una sinusoide sfasata che non parte da $0$...

E volendo avere il massimo della correttezza matematica, come andrebbe posta la questione?

Sì, infatti quella scrittura sul libro non ha senso; hanno scelto un segnale modulante infelice per fare un esempio. Il tutto potrebbe giustificarsi assumendo che l'istante di inizio della trasmissione sia un punto di ispezione casuale dell'asse dei tempi e quindi considerare il limite secondo Cesaro del seno. Ma resta comunque una cosa un po' sforzata.

Sì, infatti quella scrittura sul libro non ha senso; hanno scelto un segnale modulante infelice per fare un esempio. Il tutto potrebbe giustificarsi assumendo che l'istante di inizio della trasmissione sia un punto di ispezione casuale dell'asse dei tempi e quindi considerare il limite secondo Cesaro del seno. Ma resta comunque una cosa un po' sforzata.

Me ne rendo conto purtroppo... Potresti essere così gentile da darmi qualche ragguaglio in più e farmi capire perché mai quell'integrale esce così?

Credo che, in pratica, considerino il limite in media del seno e dunque sarebbe giustificata:

$lim_(t->-infty)^(mean) sin(2pift)=0$

Ma se al posto del seno ci fosse stata un'altra funzione (che magari a $-oo$ assume un valore preciso), ugualmente si prendeva la primitiva in $t$ e si ignorava l'estremo inferiore di integrazione?

In quel caso fai il limite ordinario

Ok perfetto grazie