[Teoria dei Segnali] Spettro del segnale

Salve a tutti ragazzi. Devo risolvere questo esercizio:
Determinare lo spettro del segnale:
(per favore non mi linciate, sbaglio qualcosa, ma non capisco dove)

Per la determinazione dello spettro faccio così:

$ w(t)={ ( be^(-t/a+1)) ,( 0 ), (-be^(t/a+1)):} $

La prima per $t<0$, la seconda per $t=0$ la terza per $t>0$ (non sono riuscito a scriverlo nel sistema)

Ho riscritto il sistema in questo modo:
$ w(t)={ ( be^(-|t|/a+1)) ,( 0 ), (-be^(-|t|/a+1)):} $
(Ho aggiunto il modulo alla variabile $t$ e il segno meno all'espressione per $t>0$

sapendo inoltre che la Trasformata di Fourier:
$ F[e^(-|t|/T)] rarr 2/F * 1/(1+((2pif)/F)^2) $

Ottengo per la prima (t>0):
$ F[be^(-|t|/a+1)] = F[b*e^1*e^(-|t|/a)] = b*e*F[e^(-|t|/a)] = (2bea)/(1+(2pifa)^2) $
avendo sostituito $T=a$ , quindi $F=1/T = 1/a$;

Con le stesse considerazioni per la seconda (t<0):
Ottengo
$ F[-be^(-|t|/a+1)] = F[-b*e^1*e^(-|t|/a)] = -b*e*F[e^(-|t|/a)] = (-2bea)/(1+(2pifa)^2) $

Ora sapendo che la TDF è lineare, posso sommare le due TDF, ma ottengo 0.
Il mio dubbio è proprio questo, cosa c'è di sbagliato nel mio procedimento?


Grazie in anticipo

Prova a fare la somma con i grafici piuttosto che algebricamente

La somma dei due grafici sono uno il ribaltato rispetto all'asse y dell'altro. Quindi la somma fa 0

Riguardando il testo, sei sicuro che sia così? perchè, a parte un errore quando aggiungi il modulo, il segnale di partenza non è quadrato sommabile e quindi facendo l'integrale diverge. O mi sta sfuggendo qualcosa di stupido oppure credo che siano invertiti $t<0$ e $t>0$.
Inoltre, come dicevo prima, credo ci sia un errore quando aggiungi il modulo: per come è definito il segnale, entrambi gli esponenziali dovrebbero essere positivi.
Assicurati che il testo dell'esercizio sia giusto.

Da come è stata definita sembra che la funzione che devi trasformare possa essere scritta:

$w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1)$

Se provi a F-trasformarla, così definita, otterrai un risultato molto diverso da quello riportato.

P.S.: ti consiglio di utilizzare la proprietà delle trasformate di funzioni reali dispari.

Da come è stata definita sembra che la funzione che devi trasformare possa essere scritta:

$w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1)$

Esatto volevo arrivare proprio lì. Infatti secondo me sono state invertite le espressioni o le condizioni.

Grazie mille ragazzi, ho risolto.
Ho scritto la funzione come mi avete detto e infatti può essere scritta, poi ho integrato e ho ottenuto:
$ w(f)=(4abe)/(1+4pi^2f^2a^2) $

Il denominatore mi sembra corretto ma temo che il risultato non sia ancora quello giusto, poiché per: $ω=0$, e cioè in continua, la funzione renderebbe un valore non nullo, mentre il tuo segnale nel tempo è evidentemente a valor medio nullo. Credo che manchi un temine proporzionale a $jω$ a numeratore...

Riguardando il testo, sei sicuro che sia così? perchè, a parte un errore quando aggiungi il modulo, il segnale di partenza non è quadrato sommabile e quindi facendo l'integrale diverge. O mi sta sfuggendo qualcosa di stupido oppure credo che siano invertiti $t<0$ e $t>0$.
Inoltre, come dicevo prima, credo ci sia un errore quando aggiungi il modulo: per come è definito il segnale, entrambi gli esponenziali dovrebbero essere positivi.
Assicurati che il testo dell'esercizio sia giusto.

Scusatemi ho sbagliato io, ma comunque nei calcoli $t>0$ e $t<0$ sono scritti correttamente.

Da come è stata definita sembra che la funzione che devi trasformare possa essere scritta:

$ w(t)=sgn(t)*b*e^(-|t|/a+1) $

Se provi a F-trasformarla, così definita, otterrai un risultato molto diverso da quello riportato.

P.S.: ti consiglio di utilizzare la proprietà delle trasformate di funzioni reali dispari.

Purtroppo non riesco a capire come F-trasformare questa funzione. Potreste darmi un aiuto?

Grazie mille ragazzi, ho risolto.
Ho scritto la funzione come mi avete detto e infatti può essere scritta, poi ho integrato e ho ottenuto:
$ w(f)=(4abe)/(1+4pi^2f^2a^2) $

Come eri giunto a questo risultato? Prova a postare il procedimento: forse non eri così lontano dalla soluzione...