Quinzio ha scritto:Secondo me c'e' qualche errore, ma soprattutto, alla fine qual e' la risposta del sistema (domanda 2) ?
La risposta che ho calcolato in questo post era:
$ y(k)={ (0.07sin(2k +2.80 ) | k<=5 ),(-0.9(0.7)^(k-6)|5<=k<=8 ),( 2xx 1(k-8)-2(0.7)^(k-8) |k>=8):} $
Credo forse di aver capito dove sbagliavo, cioè nel calcolo della risposta libera per $ 5<=k<=8 $ ma trovando la soluzione ho trovato forse un altro problema.
Ho ragionato rispetto a prima in modo diverso, l'obbiettivo è sempre lo stesso, calcolarmi $ H(z) $ per ottenere il valore di $X(6)$ e calcolarmi quindi la risposta libera del sistema $ y_(lib)(k)=psi (z)X_(6) $.
Questa volta però mi sono basato soprattutto sulle relazioni di congruenza e il segnale stesso.
Ricapitolando il mio segnale é: $ u(k)=2xx 1(k-8)+sin(2k)xx1(-k+5) $ quindi ho un ingresso di ampiezza $1$ sinusoidale che parte da meno infinito e arriva a $5$ poi l'ingresso si arresta e riparte da un gradino che parte da 8 e va a infinito e di ampiezza $ 2 $.
Quindi vedendo il mio sistema so che essendo un sistema in retroazione e essendo la mia fdt sul ramo di azione il suo ingresso $ u_(1) $ è pari alla differenza tra l'ingresso del sistema e l'uscita del ramo di retroazione "libero" cioè: $ u_(1)=u_(k) - y_(2) $, quindi essendo nullo l'ingresso di $ u_(k)$ allora $ u_(1)= - y_(2) $ .
Inoltre noto che: $ y_(2)= y_(1)= y $
Il problema viene nel ricavarmi la mia $ H(z) $ indipendentemente da che tipo di forma canonica usi mi viene un sistema con una matrice $ B $ nulla e quindi non so come procedere, non capisco che errore io faccia.
Rappresento il mio sistema in forma canonica di osservazione quindi:
$ A=[ ( -a_(1) , 1 , 0 , 0 , 0 ),( -a_(2) , 0 , 1 , 0 , 0 ),( ... , ... , ... , ..., ...),( ... , ... , ... , ..., 1),( -a(n) , 0 , 0 , ..., 0 ) ] =[ ( 0.7 , 1 ),( 0 , 0 ) ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) | B=[ ( b_(1)-a_(1)b_(0) ),( b_(2)-a_(2)b_(0) ),( ... ),( ...),( b_(n)-a_(n)b_(0) ) ] =[ ( 0 ),( 0.3 ) ] $
$C=[ 1 \ \ 0 \ \ .... \ \ ... \ \ 0 ] =[ 1 \ \ 0 ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) |D=0 $
$ { ( x(k+1)= [ ( 0.7 , 1 ),( 0 , 0 ) ]x(k)+[ ( 0 ),( 0.3 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 1 \ \ 0 ]x(k) ):} =>{ ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)+x_(2)(k)),( x_(2)(k+1)=0.3u_(2)(k) ),( y(k)=x_(1)(k) ):} $
Quindi sapendo che $ u_(1)(k)= - y_(2)(k) $allora riscrivo il sistema e da questo ottengo la mia $ H(z) $:
$ { ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)+x_(2)(k)),( x_(2)(k+1)=-0.3x_(1)(k) ),( y(k)=x_(1)(k) ):} =>{ ( x(k+1)= [ ( 0.7 , 1 ),( -0.3, 0 ) ]x(k)+[ ( 0 ),( 0 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 1 \ \ 0 ]x(k) ):}$
$ H(z)=(zI-A)^(-1)B =[ ( z-0.7 , -1 ),( 0.3, z ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ]=([ ( z , 1 ),( -0.3, z-0.7 ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ])/((z-0.7)z)=0 $
Se invece rappresento il mio sistema in forma canonica di controllo quindi:
$ A=[ ( -a_(1) , -a_(2) , ... , ... , a(n)),( 1 , 0 , ... , ... , 0),( 0 , 1 , ... , ..., ...),( ... , ... , ... , ..., 0),( 0 , ... , ..., 1 , 0 ) ] =[ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) | B=[ ( 1 ),( 0 ),( ... ),( ...),( 0 ) ] =[ ( 1 ),( 0 ) ] $
$C=[ ( b_(1)-a_(1)b_(0) ) \ \ ( b_(2)-a_(2)b_(0) )\ \ .... \ \ ... \ \ ( b_(n)-a_(n)b_(0) ) ] =[ 0 \ \ 0.3 ] | ( ),( ),( ),( ),( ),( ) |D=0 $
$ { ( x(k+1)= [ ( 0.7 , 0 ),( 1 , 0 ) ]x(k)+[ ( 1 ),( 0 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 0 \ \ 0.3 ]x(k) ):} =>{ ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)+u_(1)(k)),( x_(2)(k+1)=x_(1)(k) ),( y(k)=0.3x_(2)(k) ):} $
Quindi sapendo che $ u_(1)(k)= - y_(2)(k) $allora riscrivo il sistema e da questo ottengo la mia $ H(z) $:
$ { ( x_(1)(k+1)= 0.7x_(1)(k)-0.3x_(2)(k)),( x_(2)(k+1)=x_(1)(k) ),( y(k)=0.3x_(2)(k) ):} =>{ ( x(k+1)= [ ( 0.7 , -0.3 ),( 1, 0 ) ]x(k)+[ ( 0 ),( 0 ) ]u(k) ),( y(k)=[ 0 \ \ 0.3 ]x(k) ):}$
$ H(z)=(zI-A)^(-1)B =[ ( z-0.7 , -0.3 ),( 1 , z ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ]=([ ( z , 1 ),( -0.3, z-0.7 ) ]^(-1)[ ( 0 ),( 0 ) ])/((z-0.7)z)=0 $
Quindi come devo fare per ottenere la mia H(z)?