Grazie per le risposte. Per essere sicuro di aver compreso, ho tentato di svolgere il seguente esercizio:
Si consideri il sistema dinamico $\dot{x(t)} = u(t)x^{3}(t)$
Determinarne gli stati di equilibrio per $u(t) = 1$ e $u(t) = -1$ e caratterizzarli in termini di stabilità.Ho innanzitutto calcolato gli stati di equilibrio tramite definizione.
Caso u(t) = 1.$\dot{x(t)} = 0 \Leftrightarrow x^{3}(t) = 0 \Leftrightarrow x(t) = 0.$
$\dot{x(t)} > 0 \Leftrightarrow x^{3}(t) > 0 \Leftrightarrow x(t) > 0.$
$\dot{x(t)} < 0 \Leftrightarrow x^{3}(t) < 0 \Leftrightarrow x(t) < 0.$
Un grafico puramente qualitativo della situazione in esame, intorno a zero, può essere il seguente:
Qualsiasi punto alla destra di zero ha derivata (velocità) positiva, di conseguenza tende ad allontanarsi indefinitamente dallo zero verso $+\infty$. Stesso dicasi per i valori alla sinistra di zero, che avendo derivata (velocità) negativa, "tornano indietro" verso $-\infty$. Ergo, zero risulta instabile.
Caso u(t) = -1.$\dot{x(t)} = 0 \Leftrightarrow -x^{3}(t) = 0 \Leftrightarrow x(t) = 0.$
$\dot{x(t)} > 0 \Leftrightarrow -x^{3}(t) > 0 \Leftrightarrow x(t) < 0.$
$\dot{x(t)} < 0 \Leftrightarrow -x^{3}(t) < 0 \Leftrightarrow x(t) > 0.$
Ancora qualitativamente, ottengo questo:
Questa volta, alla destra di zero la derivata è negativa, quindi qualsiasi valore tende a "tornare indietro" fino ad assestarsi a zero, dove lì la derivata (velocità) è nulla. Stesso dicasi per i valori di sinistra, che tendono ad avanzare verso lo zero, fino a fermarvici, sempre per via dell'annullamento della derivata. Quindi zero, questa volta, risulta stabile; in più, esso lo è anche asintoticamente, perché comunque io scelga un punto alla sua sinistra o alla sua destra, vi convergerà sempre.
Confermate?