Sistemi a tempo continuo

Ciao a tutti sono alle prese con i sistemi tempo continui.
Se ho capito un sistema tempo continuo ha t reale e in linea generale ha questo aspetto:

$(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$
$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

con eventuale condizione iniziale $X(0)=x_0$

la soluzione della prima equazione esiste ed è unica

$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$, $(0,t)$ sono estremi di integrazione che non ho capito come si mettono con math ancora per il momento. Questa si compone di una risposta libera $e^(At)x(0)$ e di una forzata $int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$ e questa nient'altro è che la formula di Lagrange giusto?

e analogamente esiste una soluzione per

$y(t)=Ce^(At)x(0)+Cint_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon+Du(t)$

giusto? Anche questa è una formula di lagrange?

Ora però voglio dimostrare che ciò che ho scritto è corretto....

$e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$

Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo

$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

ora se non mi sbaglio quì posso utilizzare la serie di taylor per $e^At$ dunque fino all'integrale penso che la mia dimostrazione sia corretta.
I problemi mi giungono quando provo a risolvere quell'integrale, ho pensato di risolverlo per parti...ma come devo fare con quell'$u(epsilon)$

Pensavo di consideralo come una semplice x, in modo che la sua derivata risultasse 1 invece non mi trovo....come si risolve quell'integrale???? Sarà che è notte però non mi viene!

Ultima modifica di Ahi il 14/11/2007, 22:00, modificato 4 volte in totale.

Ciao a tutti sono alle prese con i sistemi tempo continui.
Se ho capito un sistema tempo continuo ha t reale e in linea generale ha questo aspetto:

$(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$
$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

Questa è la forma generale di un sistema tempo continuo lineare e stazionario.
Se non assumi la linearità e la stazionarietà, la derivata dello stato e l'uscita saranno funzioni generiche (non lineari) dello stato e dell'ingresso e saranno e avranno inoltre una dipendenza diretta dal tempo.

Ora però voglio dimostrare che ciò che ho scritto è corretto....dunque deve essere vera questa disuguaglianza

$e^(At)x(0)+int_(0,t)e^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$

Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo

$x(t)=e^(At)x(0)+int_(0,t)e^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_(0,t)e^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

ora se non mi sbaglio quì posso utilizzare la serie di taylor per $e^At$ dunque fino all'integrale penso che la mia dimostrazione sia corretta.
I problemi mi giungono quando provo a risolvere quell'integrale, ho pensato di risolverlo per parti...ma come devo fare con quell'$u(epsilon)$

Per dimostrare quella scrittura devi avere preliminarmente definito l'operazione $e^(At)$, ovvero un numero reale con una matrice all'esponente. Nel corso che ho seguito io si procedeva diversamente: col metodo delle approssimazioni successive si giungeva a una serie che si dimostrava essere convergente e la cui somma era simbolicamente identificata con $e^(At)$.

Allora io spero di avere un intuizione giusta quindi cerco di completare la dimostrazione

$e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon=(dx)/(dt)=Ax(t)+Bu(t)$

Allora partendo dalla mia formula di lagrange, derivo

$x(t)=e^(At)x(0)+int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$
$(dx)/(dt)=(d)/(dt)e^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

Mi stavo un po' scoraggiando quì, ma ragionando come posso riscrivere quell'esponenziale? Mi è venuta la serie di Taylor

$e^(At)=I+At+(A^2)*(t^2)/(2!)+...$

dunque sostituendo si ha:

$(dx)/(dt)=(d)/(dt)[I+At+(A^2)*(t^2)/(2!)+...]x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

ma io quella deriva la so fare! Dunque:

$(dx)/(dt)=[A+(A^2t)/(2!)+((A^3)t^2)/(2!)+...]x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

Ma se metto A in evidenza cosa ho:

$(dx)/(dt)=A[I+At+((A^2)t^2)/(2!)+...]x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

e dunque:

$(dx)/(dt)=Ae^(At)x(0)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

e infine

$(dx)/(dt)=Ax(t)+(d)/(dt)int_0^te^(A(t-epsilon))Bu(epsilon)depsilon$

dunque quell'integrale mi deve dare $Bu(t)$ sono sicuro, ma non mi viene in mente una soluzione per qull'integrale!!

Ultima modifica di Ahi il 14/11/2007, 22:21, modificato 1 volta in totale.

Mi stavo un po' scoraggiando quì, ma ragionando come posso riscrivere quell'esponenziale? Mi è venuta la serie di Taylor

$e^(At)=I+At+(A^2)*(t^2)/(2!)+...$

Sicuro di poterlo fare? $ e^A$ non è come $e^a$. Né $e^A= e^(a_(11)); e^(a_(12))...$

Si, se conosci gli appunti di Beumperd se scrive così, e vedi si può scrivere l'esponenziale in quel modo, e ho avuto la verifica anche su libro, peccato se riuscissi a risolere quell'integrale sarebbe una gran cosa!

L'ultimo passaggio non mi è chiaro, cmq...

$dotx=Ax+Bu$

$x=e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau$, da cui

$dotx=Ae^(At)+d/(dt)int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau=Ae^(At)+Ae^(At)int_0^te^(-Atau)Bud\tau+e^(At)e^(-A\tau)Bu=A(e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau)+e^0Bu=Ax+Bu$

GRAZIE però...

L'ultimo passaggio non mi è chiaro, cmq...

$dotx=Ax+Bu$

$x=e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau$, da cui

$dotx=Ae^(At)+d/(dt)int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau=Ae^(At)+Ae^(At)int_0^te^(-Atau)Bud\tau+e^(At)e^(-A\tau)Bu=A(e^{At}x_0+int_0^te^(A(t-tau))Bud\tau)+e^0Bu=Ax+Bu$

Non ho capito come fai a risolvere l'integrale, perché ti esce l'integrale di una certa quantità + un altro qualcosa? Stai facendo la derivata di un prodotto?

Si ho portato fuori dall'integrale e^(At), visto che nell'integrazione rispetto a $tau$ è costante...

Un discorso analogo, credo con le sommatorie, si può fare per i discreti.
Visto che mi trovo. Ma questo mi ha portanto alla soluzione della mia eq differenziale?
Sì? Cosa mi si può contestare su questa dimostrazione?

In che senso cosa si può contestare...? Se è giusta è giusta...