[Teoria dei Segnali] analisi dei sistemi

Salve a tutti.
Sto analizzando questa relazione input-output e non riesco a capire se il sistema è tempo invariante e stabile(BIBO).
$y(t)=int_0^tx(alpha)dalpha$

Per la stabilità ho pensato che l'integrale su di un intervallo limitato di una quantità limitata è limitato.
Per la tempo invarianza non saprei come procedere.

In pratica la funzione di trasferimento è un integrale ovvero:

$(Y(s))/(X(s)) = 1/s$

Ora la stabilità BIBO richiede che per valori limitati dell'ingresso si abbia sempre e solo valori limitati in uscita.
Ma l'ingresso costante genera in uscita una rampa che non è limitata per cui non soddisfa la definizione.
Oppure se si guarda la risposta all'impulso questa è un gradino e quindi non è assolutamente integrabile (vedi https://it.wikipedia.org/wiki/Stabilit%C3%A0_esterna) per cui non è stabile alla BIBO.
In ultimo si può affermare la non stabilità in quanto i poli non sono a parte reale strettamente negativa (vedi https://www.alessandro-giua.it/UNICA/EAS/cap9_breve.pdf Teorema 9.2).

Quanto alla tempo invarianza siccome non c'è una dipendenza esplicita dal tempo il sistema è tempo-invariante. D'altronde è abbastanza intuitivo constatare che se il segnale di ingresso è ritardato, l'uscita sarà uguale a quella dovuta al segnale originale ma ritardata della stessa quantità.

Attenzione: il sistema non e' tempo-invariante.

Per verificarlo, ti potrei dire di prendere la definizione e applicarla, ma la definizione "ufficiale", seppur formalmente corretta, rimane ancora fumosa e priva di indicazioni operative.
Per verificare l'invarianza operativamente bisogna "generare" due segnali di uscita, prodotti in due modi diversi, e li si confronta.
Se le due uscite sono uguali per tutti i segnali e per tutte le traslazioni temporali, allora il sistema e' tempo-invariante.

Per fare il primo segnale di uscita:
si prende il sistema e un segnale $x(t)$,
lo si fa passare nel sistema e viene prodotta l'uscita $y(t)$,
poi si trasla l'uscita e si crea il segnale $y_1(t) = y(t+t_0)$

Per fare il secondo segnale di uscita:
si prende il sistema e lo stesso segnale $x(t)$,
si trasla il segnale d'ingresso e si crea il segnale $x_2(t) = x(t+t_0)$
lo si fa passare nel sistema e viene prodotta l'uscita $y_2(t)$.

Se $y_1(t) = y_2(t), \forall x(t), \forall t_0$ allora il sistema e' tempo-invariante.

Per cui abbiamo nel primo caso:
$x(t)$
$y(t) = \int_0^t x(\alpha) d\alpha = X(t)-X(0)$
dove $X(t)$ e' la primitiva di $x(t)$
$y_1(t) = X(t+t_0)-X(0)$

Nel secondo caso:
$x(t)$
$x_2(t) = x(t+t_0)$
$y_2(t) = \int_0^t x(\alpha+t_0) d\alpha$
$y_2(t) = \int_{t_0}^(t+t_0) x(\tau) d\tau$ (cambio di variabile $\tau = \alpha+t_0$)
$y_2(t) = X(t+t_0) - X(t_0)$

E' evidente che $y_1(t) \ne y_2(t)$ siccome in generale
$X(t+t_0)-X(0) \ne X(t+t_0) - X(t_0)$
$X(0) \ne X(t_0)$
quindi il sistema non e' tempo invariante.

Ti e' chiaro adesso come si verifica operativamente l'invarianza temporale ?

$ y_1(t) = X(t+t_0)-X(0) $

Non mi sembra corretto. Il segnale $y_1(t)$ ovvero $y(t)$ traslato di $t_0$ dovrà ancora avere $y_1(t_0) = 0$ in quanto $y(0) =0$.

Provo a rifare la trattazione di Quinzio, ma per trattare correttamente i segnali ritardati devo introdurre l'ipotesi aggiuntiva che per $t<0$ sia tutto nullo ovvero che per $t<0$ risulti $y(t) = x(t) = 0$, in quanto formalmente il problema mi da informazioni solo per $t ge 0$.

Quindi se $X(t)$ è la primitiva di $x(t)$ allora per $t ge 0$ risulterà:

$y(t) = X(t) - X(0)$

Il segnale ritardato di $t_0$ sarà ottenibile sostituendo $t-t_0$ a $t$. Quindi per $t ge t_0$

$y_1(t) = X(t-t_0) - X(0)$

con $y_1 = 0$ per $t<t_0$ Osserviamo che correttamente risulta $y_1(t_0) = 0$.

Ora consideriamo l'ingresso ritardato di $t_0$ ovvero $x'(t) = x(t-t_0)$ per $t ge t_0$ e zero per $t<t_0$.

Avremo:

$y_2(t) = int_0^t x'(tau) d tau = int_(t_0)^t x(tau-t_0) d tau = int_0^(t-t_0) x(tau') d tau'= X(t-t_0) - X(0)$

Quindi nelle ipotesi assegnate risulta $y_1(t) = y_2(t)$ ovvero tempo-invariante.

Perfetto, grazie mille!