Spettri: spero di averli capiti.

Salve a tutti. In precedenza ho messo un post dove chiedevo aiuto su gli spettri e se non sbaglio l'utente El Giovo mi dato dei libri utili dove poter imparare. Ho messo tutto l'impegno possibile nell'esercizio seguente, sperando di aver capito benino gli spettri, spiegherò ogni passaggio da me realizzato, così che potrete sgridarmi se sbaglio.

Esercizio Traccia:
Ricavare e graficare gli spettri di fase ed ampiezza del seguente segnale $x(t)=10*rect(10*t)$

Soluzione Esercizio
Per una mia comodità riscrivo il segnale nella forma $x(t)=10*rect(10*t)=10*rect(t/(1/10))$ così da rendere più semplice il calcolo della trasformata di Fourier. Quindi trasformo:

$X(f)=F[x(t)]=F[10*rect(t/(1/10))]=10*(1/10)*sinc(f/10)=sinc(f/10)$

Lo spettro semplicemente è dato dal grafico della trasformata appena risolta ossia di $X(f)=sinc(f/10)$ come ho rappresentato in FIGURA 1 dell'immagine postata.

Per lo spettro di ampiezza devo prendere il modulo di $X(f)=|sinc(f/10)|$, e quindi, almeno in questo caso non ci sono molti calcoli da fare, devo solo "raddrizzare" l'ampiezza. Ovvero la parte negativa diventa positiva per via del modulo, come ho fatto in FIGURA 2.

Per lo spettro di fase non so se ho capito bene, da quanto ho studiato e capito (spero) devo effettuare l'arcotangente lì dove compare la f per la precisione:

$<X(f)=-arctg(f/10)$

e poi calcolare quando vale per $f=10,20$ e così via, ossia

$<X(f)=-arctg(0/10) = 0$ per f=0
$<X(f)=-arctg(10/10)= -arctg(1)= -45$ per f=10
$<X(f)=-arctg(-10/10)= -arctg(-1)= 45$ per f=-10

li dove c'è -45, quindi un valore negativo, sul grafico prendo - $pi$, per i valori positivi invece $+pi$. Come in FIGURA 3.




Ho messo tutto l'impegno possibile spero sia servito.

Vi ringrazio tutti, che siete sempre molto pazienti e gentili.

Purtroppo ti devo sgridare, sei stato molto cattivo.
La trasformata di Fourier è fatta bene. Il tuo problema, secondo me, è che non hai bene in mente il concetto di numero complesso, o meglio, il concetto che i numeri reali sono particolari numeri complessi. Hai ottenuto la funzione $X(f)="sinc"(f/10)$. Nonostante la teoria ti dica che, in generale, la trasformata di Fourier è una funzione complessa, in questo caso ciò che ti si presenta è una funzione puramente reale; ciò discende fal fatto che il segnale $x(t)=10*"rect"(10*t)$ è reale e pari. In genere si chiede di graficare lo spettro di un segnale in modulo e fase perchè per ogni valore della frequenza tale spettro è individuato da un numero complesso, che si può descrivere in molti modi, tra cui modulo + fase: $z=rho*e^(i*phi)$. Avrai dunque bisogno di n° DUE parametri per rappresentare lo spettro in ogni valore di $f$. Questo resta vero anche nel caso di uno spettro reale come $"sinc"(f/10)$, infatti anche i numeri reali sono individuati da un modulo e una fase: il modulo è il loro valore assoluto, mentre la fase è $0$ per i numeri positivi, $pi$ per quelli negativi (sono sicuro che capirai il perchè). Perciò per graficare il modulo dello spettro disegnerai il modulo del sinc (e questo l'hai fatto bene), mentre per graficare la fase studierai il segno della funzione $X(f)="sinc"(f/10)$ e disegnerai delle spezzate di "altezza" $0$ laddove $X$ è positiva, di altezza $pi$ dove $X$ è negativa.

Ultima modifica di elgiovo il 01/07/2008, 17:03, modificato 1 volta in totale.

Ecco il grafico del modulo:

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Ecco il grafico della fase:

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Ecco infine il grafico complessivo dello spettro (che in questo caso si può disegnare):

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Non riesco a vedere le immagini...

Se usi Internet Explorer, qui c'è il link per scaricare il plugin per i grafici. In alternativa puoi installare Firefox. A proposito: colgo l'occasione per ringraziare stan per l'SVG, era da molto che gli rompevo le scatole

io purtroppo non riesco a capire che calcoli devo effettuare per rappresentare poi quel grafico sullo spettro di fase. Inoltre tutta la $sinc$ devo considerare come un numero complesso o solo quello in parentesi?

Ciò che compare in parentesi è la frequenza, cioè il dominio della trasformata di Fourier, che è REALE. In generale, la trasformata di Fourier è invece COMPLESSA, nel senso che per ogni valore della frequenza essa è un numero complesso. Per un generico valore della frequenza $f$ questo numero complesso si può scrivere come $rho(f)*e^(i*phi(f))$. Ebbene, il grafico dello spettro di fase è quello della funzione $phi(f)$, quello del modulo è il grafico di $rho(f)$. Veniamo allo spettro in questione. La funzione $"sinc"(f/10)$ è reale, e il suo valore per un generico $f_0$ è $"sinc"(f_0/10)=|"sinc"(f_0/10)|*e^(i * 0)$ se $"sinc"(f_0/10)>0$, $|"sinc"(f_0/10)|*e^(i * pi)$ altrimenti, quindi $phi(f)={(0" se "X(f)>=0),(pi" se "X(f)<0):}$
Prendi invece lo spettro di $x(t)=10*"rect"(10*(t-1))$, ovvero $X(f)="sinc"(f/10) *e^(i*2pif)$. Hai che la sua rappresentazione in modulo e fase è $X(f)=rho(f)*e^(i* phi(f))=|"sinc"(f/10)|*e^(i*2pif)$, quindi $rho(f)=|"sinc"(f/10)|$ (uguale al caso precedente) e $phi(f)=2pif$, ovvero una retta. Qui sotto trovi i grafici di modulo e fase. Non troverai il grafico complessivo della trasformata perchè quest'ultima non è reale come nel caso precedente.

Modulo:

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Fase:

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