[Segnali] Dubbio densità spettrale di potenza

Ciao a tutti

Considerando processi aleatori WSS, ho un dubbio riguardo la densità spettrale di potenza:
sul mio libro c'è scritto che $\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df = M_x$ dove $M_x$ = potenza statistica.
la PSD è: $P_x(f) = int_{-infty}^{+infty} r_x(tau)e^(-j2piftau) d tau$, cioè la trasformata di Fourier della correlazione linere;

Il mio dubbio è il seguente:
il risultato del primo integrale è uguale alla potenza statistica solo se valuto la PSD (TdF della correlazione) in 0 oppure no?

Grazie

Casomai la potenza è uguale alla correlazione valutata in 0. Infatti

$M_x=int_RR P_x(f)"d"f=[int_RR P_x(f) e^(j 2 pi f tau)"d"f]_(tau =0)=[r_x(tau)]_(tau =0)=r_x(0)$.

si ok, però se scrivo in questo modo:

$\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df = \int_{-infty}^{+infty} (int_{-infty}^{+infty} r_x(\tau)e^(-j2pif\tau)\d tau)df
e ponendo in quest'ultima $tau = 0$ ottengo $M_x$
ora però, se al posto di $tau = 0$ pongo per esempio $tau = 5$, $\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df$ è uguale ancora a $M_x$?
In pratica con quest'ultimo modo è come se valutassi la trasformata di Fourier non più nell'origine...

$\int_{-infty}^{+infty} P_x(f) df = \int_{-infty}^{+infty} (int_{-infty}^{+infty} r_x(\tau)e^(-j2pif\tau)\d tau)df
e ponendo in quest'ultima $tau = 0$...

Non puoi porre $tau=0$, in quanto $tau$ è variabile di integrazione. Inoltre non ho capito dove vuoi arrivare con quel $tau=5$. Ad ogni modo, $r_x(5)$ non è certo la potenza del processo (lo sarebbe solo se il processo fosse ciclostazionario e quindi $r_x(tau)$ fosse periodica di periodo $5$).

Si, ho sbagliato a scrivere...in effetti non ha senso del $tau = 0$
Cerco di spiegarmi meglio, dunque
$P = int_{-infty}^{infty} r_x(tau)e^(-j2pif tau) d tau$
che è appunto la tdf della correlazione. Da questo punto, come faccio a dire che $int_{-infty}^{+infty} P(f) df = r_x(0) = M_x$?
perchè io ho provato a valutare la trasformata in 0 e l'integrale diverrebbe
$int_{-infty}^{infty} r_x(tau)e^(-j2pi0 tau) d tau = int_{-infty}^{infty} r_x(tau) d tau$
ma da questo punto non traggo molte conclusioni...

Se invece ragiono all'incontrario, cioè rappresento $r(x) = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) e^(j2pif tau)df $, allora ci sono.

Se invece ragiono all'incontrario, cioè rappresento $r(x) = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) e^(j2pif tau)df $, allora ci sono.

Questo è corretto (ed è quello che ti ho già fatto vedere).

$r(0) = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) e^(j2pif 0)"d"f = int_{-infty}^{+infty} P_x(f) "d"f=M_x$.

Ma non c'è un modo per dimostrare questo partendo dalla trasformata anzichè dall'antitrasformata?

Ma non c'è un modo per dimostrare questo partendo dalla trasformata anzichè dall'antitrasformata?

Secondo me ti stai ingarbugliando inutilmente. $M_x$ è uguale a $r_x(0)$. Punto. Per mostrarlo si usa la trasformata di Fourier. O l'antitrasformata, a seconda di come la definisci. Forse non lo sai, ma esistono definizioni di trasformata diverse da quella usata in ambito ingegneristico. Vedi questa:

$F(omega)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(i omega t) f(t)"d"t$ $to$ $f(t)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(-i omega t) F(omega)"d"t$.

In generale, puoi far variare i parametri $a$ e $b$ nell'espressione

$F(omega)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1-a))) int_RR e^(i b omega t) f(t)"d"t$ $to$ $f(t)=sqrt((|b|)/((2pi)^(1+a))) int_RR e^(-i b omega t) F(omega)"d"omega$.

$F(omega)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(i omega t) f(t)"d"t$ $to$ $f(t)=1/(sqrt(2 pi))int_RR e^(-i omega t) F(omega)"d"t$.

Questo non lo sapevo in effetti...da cosa è dovuta questa flessibilità??? Purtroppo in ingegneria non si approfondiscono questi aspetti;
Mi sapresti dare qualche link utile riguardo questo argomento? Sono piuttosto curioso.

Grazie per la disponibilità