Stabilità per linearizzazione

Ciao,
qualcuno saprebbe chiarirmi in cosa consiste il metodo dello studio della stabilità per linearizzazione?
Mi pare di aver intuito(da un mio libro)che serva per determinare i punti di equilibrio,ma non ne sono sicuro.
come si applica?

grazie a chiunque risponderà.

Ciao....
Un teorema molto importante sulla stabilità fa proprio uso del concetto che hai espresso.
Si tratta del teorema di analisi lineare di stabilità.
L’analisi lineare della stabilità di una soluzione costante $x_0$ si basa sull’idea intuitiva che sia possibile ottenere informazioni sulla stabilità di $x_0$ andando a studiare le equazioni linearizzate nell’intorno del punto $x_0$.

Per capirci se tu hai un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, allora le linearizzi al primo ordine (attraverso Taylor...che per un sistema lineare corrisponde alla matrice jacobiana calcolata nel punto di equilibrio).

Studiando gli autovalori della matrice J puoi capire le proprietà di stabilità dei punti di equilibrio.
Più dettagliatamente se:
-hai almeno un autovalore positivo, la soluzione $x=x_0$ è instabile
-hai tutti gli autovalori negativi la soluzione $x=x_0$ è stabile

Ciao....
Un teorema molto importante sulla stabilità fa proprio uso del concetto che hai espresso.
Si tratta del teorema di analisi lineare di stabilità.
L’analisi lineare della stabilità di una soluzione costante $x_0$ si basa sull’idea intuitiva che sia possibile ottenere informazioni sulla stabilità di $x_0$ andando a studiare le equazioni linearizzate nell’intorno del punto $x_0$.

Per capirci se tu hai un sistema di equazioni differenziali del primo ordine, allora le linearizzi al primo ordine (attraverso Taylor...che per un sistema lineare corrisponde alla matrice jacobiana calcolata nel punto di equilibrio).

Studiando gli autovalori della matrice J puoi capire le proprietà di stabilità dei punti di equilibrio.
Più dettagliatamente se:
-hai almeno un autovalore positivo, la soluzione $x=x_0$ è instabile
-hai tutti gli autovalori negativi la soluzione $x=x_0$ è stabile

Concordo ed aggiungo che il processo di linearizzazione è giustificato per via euristica dal fatto che la traiettoria $x$ si mantiene piccola durante il moto, e che si è interessati ad ottenere delle informazioni qualitative della qualità dell'equilibrio.

Purtroppo non sempre è possibile studiare un problema non lineare con il problema linearizzato associato, circostanza che si verifica quando è presente almeno un autovalore nullo o immaginario puro della matrice associata all'applicazione lineare, dal momento che i termini non lineare influiscono sulla stabilità del sistema. In questi casi o si cerca di integrare il problema non lineare, oppure si può far ricorso ad integrali intermedi.

Se gli autovalori sono tutti negativi il punto di equilibrio è asintoticamente stabile, se al più hai un autovalore a parte reale nulla, il sistema è stabile.

A didodock:

scusami però non son tanto daccordo con l'ultima parte, perchè basta calcolare tutti i punti di equilibrio del sistema non ilneare e poi fare la linearizzazione nell'intorno di questi e quindi non fa nulla se gli autovalori sono puri immaginari o a parte reale nulla.

A didodock:

scusami però non son tanto daccordo con l'ultima parte, perchè basta calcolare tutti i punti di equilibrio del sistema non ilneare e poi fare la linearizzazione nell'intorno di questi e quindi non fa nulla se gli autovalori sono puri immaginari o a parte reale nulla.

Si usa la linearizzazione proprio per non dover andare a studiare il problema non lineare associato...d'altra parte non trovo strano che in taluni sistemi dinamici la stabilità possa essere decisa da termini non lineari...

Mi scuso con didock.

Ho detto una stupidaggine. Neanche farlo apposta il giorno dopo mi è capitato all'esame e ho sbagliato

Mi scuso con didock.

Ho detto una stupidaggine. Neanche farlo apposta il giorno dopo mi è capitato all'esame e ho sbagliato

Scusarti di cosa? Siamo qui per discutere ed imparare reciprocamente giusto? Che esame hai dato?

"Dinamica non lineare" alla specialistica di ingegneria dell'automazione