Massimo vincolato e funzione convessa

Buongiorno a tutti,
svolgendo un esercizio di ottimizzazione vincolata con vincoli di disuguaglianza mi è sorto un dubbio.
L'esercizio mi chiede di calcolare il massimo della funzione $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ soggetta ai vincoli $2x+y\leq 2, x\geq 0, y\geq 0$.
Applicando le condizioni di Kuhn-Tucker del primo ordine ottengo che l'unico punto di massimo globale è $P=(0,2)$.
Essendo la funzione strettamente convessa, le condizioni del primo ordine sono anche sufficienti.

Ammesso e non concesso che il discorso fatto sia corretto, la mia domanda è: può una funzione convessa, come in questo esercizio, ammettere un punto di massimo globale?

Ammesso e non concesso che il discorso fatto sia corretto, la mia domanda è: può una funzione convessa, come in questo esercizio, ammettere un punto di massimo globale?

$f(x,y)$ è un parabolide parabolico (in questo caso immagina una parabola in 3D).
E' chiaro che ammette solo un minimo assoluto in (0,0)