Jacobi e Gauss S.

Ciao a tutti, spero di aver scritto nel topic giusto in quanto si tratta di matematica applicata.

Sono mezzo incartato con questa tipologia di esercizio:



Prima cosa calcolo il determinate e avrò che la matrice è invertibile per $ alpha !=0, alpha !=3/2 $.

Poi abbiamo che $ D = [ ( alpha , 0 , 0 ),( 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ], L = [ ( 0 , 0 , 0 ),( - alpha , 0 , 0 ),( - alpha , 0 , 0 ) ], U = [ ( 0 , -alpha , -alpha ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -3 ) ] $

Avremo dunque $ Hj = D^-1 (L+U) = [ ( 0 , -1 , -1 ),( - alpha/3 , 0 , 0 ),( - alpha/3 , 0 , -1 ) ] $

Infine $ | Hj - lambda I | $ mi da come risultato $ alpha lambda /3 - lambda^3 - alpha lambda/3 $ e sono leggermente spaesato. Ho pochi esempi che mi sono stati passati di questi esercizi e mi incarto facilmente. in più prima di scrivere D L ed U vedo che in diversi esercizi viene usata la dicitura p Hj <1 (in base a cosa lo devo mettere? può variare?)

Penso di aver trovato l'errore. Nella U ho aggiunto un 3 di troppo. Ho comunque il dubbio di quel PHj <1. Devo scriverlo per forza o è ininfluente?

ps ora mi ricalcolo il tutto senza quel 3.

se il raggio spettrale della matrice di iterazione del tuo metodo (jacobi o GS) è strettamente minore di 1, allora il metodo converge. Vale anche il viceversa.

E' per questo che serve trovare gli autovalori.

Dai un'occhiata qui, oppure qua

$ D = [ ( alpha , 0 , 0 ),( 0 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) ], L = [ ( 0 , 0 , 0 ),( - alpha , 0 , 0 ),( - alpha , 0 , 0 ) ], U = [ ( 0 , -alpha , -alpha ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $

Avremo dunque $ Hj = D^-1 (L+U) = [ ( 0 , -1 , -1 ),( - alpha/3 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $

Infine $ | Hj - lambda I | $ mi da come come risultato $ +-sqrt (alpha/3) $ sbaglio qualcosa? Come ottengo che converga per $ -3/2 < alpha < 3/2 $

Devi imporre che il raggio spettrale sia minore di $1$.

Non ho controllato i tuoi conti perché ora non ho moolto tempo. Prova a confrontare il tuo procedimento con wikipedia oppure controlla i conti con Wolfram alpha

si l'ho capito quello, ma non capisco proprio il procedimento. Calcolo il det(a) e fin qui ci sono. Ottengo che $ alpha !=0, 3/2 $ Poi mi trovo D ed L+U $. Calcolo $ Hj=D^-1(L+U). E poi? Come faccio a ottenere l'intervallo per cui jacobi è convergente al variare di alpha? Quando calcolo $ det(Hj-lambda I) $ ottengo dei valori di lambda contenenti alpha. Il passaggio che va dal calcolo di $ | Hj-lambda I | $ al calcolo del raggio spettrale

Che libro usi?

Trovi gli autovalori. Prendi il raggio spettrale (che dipenderà da $\alpha$).Imponi che sia minore di $1$, cioè risolve una disequazione.1

Non ricordo il nome, ma comunque ripeto, la teoria per questo esame è praticamente inutile. Guarda forse mi hai chiarito il dubbio. All'atto pratico, siccome il mio delta è 0 e $ 3/2 $. Trovare gli autovalori al fine di avere la convergenza, serve a qualcosa? Nel senso. Ammettiamo che gli autovalori siano per esempio x e y. Io impongo che il raggio spettrale sia <1. Siccome dipende da $ alpha $, avrò una disequazione in cui comprendo questi numeri? Questo è quello che non capisco. Oppure devo includere quelli di delta e arrivo alla famigerata soluzione $ -3/2 < alpha < 3/2 $ ? Perché per dirti, guardando le soluzioni degli esami precedenti, quando vado a trovare la convergenza puntualmente, è uguale ai valori presenti nel delta. Qualora ci sia 0, prende sempre l'altro numero e il suo negativo.

Di questo esercizio ahimè non mi è ben chiaro la parte che va dal calcolo di delta a quella per trovare la convergenza. In questo esame tutti e dico tutti i colleghi hanno imparato a fare gli esercizi senza l'utilizzo di una teoria come può essere quella del libro o quella di wikipedia con tutte quelle definizioni che sono praticamente inutili. Io ovviamente sto cercando di capire i procedimenti, ma all'atto pratico quella teoria mi risulta inutile e difficile da capire. Per come è impostato qui è più una cosa in cui impari a fare gli esercizi con le varie formuli ma senza entrare in formule "complicate"

Devo dire che non sei stato chiarissimo. Ti ho scritto proprio sopra cosa fare. Posta il link alla soluzione di un altro esame, così magari con un altro esempio ti si chiarisce. Comunque non sono d'accordo: qui la teoria è tutto tranne che inutile, aldilà che i tuoi colleghi la sappiano o meno.

Devo dire che non sei stato chiarissimo. Ti ho scritto proprio sopra cosa fare. Posta il link alla soluzione di un altro esame, così magari con un altro esempio ti si chiarisce. Comunque non sono d'accordo: qui la teoria è tutto tranne che inutile, aldilà che i tuoi colleghi la sappiano o meno.

forse ne sono venuto fuori. Io trovo queste soluzioni per $ | Hj - lambda I | $
$ lambda=+- sqrt((2/3)alpha) $

quindi, se non ho capito male impongo che questo sia <1 giusto? e da lì arrivo a $ -3/2<alpha<3/2 $

è corretto? è la soluzione che cerco. Una cosa che però non mi è chiara è: devo sempre imporre <1 dopo gli autovalori? perché in altri esercizi svolti anche dalla tutor non imponeva questa cosa