Convergenza di un punto ad una radice

Ciao a tutti, avrei il seguente problema:

Sia $f(x) = x^3 - 3x^2 +1$
• Disegna il grafico di f. Localizza le tre radici $alpha$, $beta$, $gamma$ con $alpha < beta < gamma$
• Studia la convergenza ad $alpha$ del metodo di Newton. La successione ottenuta con $x_0 = - 0.5$ è convergente ad $alpha$? Se convergente, qual'è l'ordine di convergenza? Giustifica le risposte
• La successione ottenuta con $x_0 = 1$ è convergente a $beta$? Se convergente, qual'è l'ordine di convergenza? Giustifica le risposte
• La successione ottenuta con $x_0 = 3$ è convergente a $gamma$? Se convergente, qual'è l'ordine di convergenza? Giustifica le risposte

Calcolando la funzione per punti trovo che $alpha$ è localizzata tra - 1 e 0, $beta$ tra 0 e 1 e $gamma$ tra 2 e 3. Inoltre la derivata prima si annulla per $x = 0$ e $x = 2$, mentre la derivata seconda per $x = 1$.
Applicando il metodo di Newton $alpha$, essendo una radice semplice, ha una convergenza locale superlineare quadratica (dato che $f''(alpha) != 0$)
Il problema è però che non mi è chiaro cosa devo fare per determinare se la successione ottenuta con $x_0 = - 0.5$ è convergente.

Nelle dispense della mia prof. c'è scritto che:
Sia $J_alpha = [alpha, alpha + r], r > 0$ (oppure $J_alpha = [alpha - r, alpha], r > 0$) e $f in C^2(J_alpha)$.
Se $f(x)f''(x) > 0, f'(x) != 0, x in J_alpha , x != alpha$ allora, preso $x_0 in J_alpha$, la successione definita dal metodo di Newton è convergente in maniera monotona.

Per verificare l'esistenza della convergenza basta che verifico se esiste un possibile intorno che soddisfa tutte queste condizioni oppure devo fare in un'altra maniera? Nel caso in cui questo sia giusto nel caso in cui non esiste questo intorno allora posso dire che non c'è la convergenza?
Grazie in anticipo

Sei poi riuscito a risolverlo?
Col tuo metodo si riesce a mostrare la convergenza solo per $x_0=3$, però usando Matlab si vede che in tutti e tre i casi si ha convergenza. Non saprei come dimostrarlo però...

Purtroppo no, non riesco a trovare nulla riguardante i criteri di convergenza della successione trovata col metodo di Newton a partire da un punto $x_0$