Neumann BC per l'equazione di Poisson (1D)

Se l'integrale di \(f\) è nullo, i flussi non dovrebbero sommare a zero?

Ma nel caso 1D la condizione di compatibilità è proprio che l'integrale di $f$ sia nullo sul dominio, visto che il bordo è fatto da due punti. O forse non ho capito cosa intendi, scusami.

Non può essere: se fosse un'equazione del calore, significherebbe dire che stai cercando un equilibrio in una situazione in cui pompi calore [dentro o fuori] da un lato e non produci niente all'interno. Come fa a esistere questo equilibrio?

Sinceramente non mi ero posto da un punto di vista fisico, su cui comunque concordo con te.

Ho trovato questo, in particolare la seconda risposta scrive ancora che la condizione di compatibilità è l'integrale nullo su $[0,1]$.

Mi pare però di capire che invece porre $\int_0^1 u(x) dx=0$ sia accettabile "fisicamente", cioè sto richiedendo che $u$ sia a media nulla sul dominio. Sinceramente questo problema mi ha sorpreso

Sinceramente non mi ero posto da un punto di vista fisico, su cui comunque concordo con te.

Bene che siamo d'accordo con questo. Non è il metodo più rigoroso di ragionare, ma di solito da delle buone linee guida.

Ho trovato questo, in particolare la seconda risposta scrive ancora che la condizione di compatibilità è l'integrale nullo su $[0,1]$.

Lo dice per un'equazione con condizioni al bordo omogenee.
Puoi vedere la cosa nel modo seguente: parti da
\[
\begin{cases}
-u'' = f \\
u'(0) = a \\
u'(1) = b
\end{cases}
\]
e fai un cambio di variabile \(u = \hat u + \bar u\) dove \(\hat u\) soddisfa \(\hat u'(0) = \hat u'(1) = 0\) e \(\bar u'(0) = a\) e \(\bar u'(1) = b\).
Allora il tuo problema diventa
\[
\begin{cases}
-\hat u'' = f + \bar u'' = \hat f\\
\hat u'(0) = 0 \\
\hat u'(1) = 0
\end{cases}
\]
nell'incognita \(\hat u\), che adesso ha condizioni omogenee.
Adesso imponi la condizione di compatibilità \(\int_\Omega \hat f = 0\), e vedi che questa incorpora le condizioni al bordo, come dev'essere.

Mi pare però di capire che invece porre $\int_0^1 u(x) dx=0$ sia accettabile "fisicamente", cioè sto richiedendo che $u$ sia a media nulla sul dominio.

Richiedere la media nulla è uguale cambiare unità di misura, per certi versi. In fluidodinamica incomprimibile è pratica comune risolvere l'equazione di Navier-Stokes con la pressione a media nulla, perché tanto la pressione è definita a meno di una costante, quindi la puoi traslare come vuoi. Non è tanto una questione di senso fisico.

Scusa per il ritardo nella risposta. Ciò che hai scritto mi torna, e ti ringrazio!

Giusto per non lasciare la discussione in sospeso. Ho chiesto a chi mi ha assegnato il problema delucidazioni (visto che non vi era alcuna condizione aggiuntiva se non quelle di Neumann) e di fatto non si era accorto di aver assegnato un problema mal posto.