Ordine di convergenza di un metodo iterativo per equazioni non lineari.

Buongiorno, sto cercando di capire l'ordine di convergenza di un metodo iterativo per equazioni non lineari, cioè

Siano $f:[a,b] to in RR$ e $x_n$ la quale converge alla soluzione esatta ossia $x_n to x'$ per $n to infty$ tale che $f(x')=0$, inoltre definisco l'errore al passo $n$, come $e_n:=x_n-x.'$

Definizione di ordine di convergenza:
Sia $x_n$ successione convergente a $x'$ inoltre $p, c in RR\:\ p ge 1\,\ 0<c<+infty$ tali che

$lim_(n to + infty)|e_(n+1)|/|e_n|^p=c$

si dice che la successione ha ordine di convergenza $p$.

Ho letto che l'ordine di convergenza esprime quante cifre decimali "guadagnamo" ad ogni passo, adesso vorrei capire perchè questo.

Grazie.

Più l'errore decade, più ti avvicini alla soluzione esatta, più cifre guadagni

Grazie feddy, questo lo sapevo, però vorrei capirlo matematicamente.

Per esempio il metodo di bisezione risulta $lim_(n to + infty)|e_(n+1)|/|e_n|^1=1/2$
cioè ha ordine di convergenza pari a $1$ e fattore di convergenza pari a $1/2$ e vorrei provare a dimostrarlo.
Quello che sono riuscito ad osservare:
-) l'errore che si commette al passo $n$ è $|e_n|<(b-a)/2^n$,
-) la seguente catena di diseguaglianze : $|e_(n+1)|<(b-a)/2^(n+1)<|e_n|$.

Dopodiché non so proseguire, il mio intento è quello di applicare il teorema dei carabinieri, ovviamente se questa è una scelta saggia.

Il metodo di bisezione non garantisce una riduzine "monotona" dell'errore tra due iterate successive. In particolare, si dice di solito che converge "in media" linearmente, ma non si riesce ad applicargli la definizione di ordine di convergenza che hai dato sopra. Tutto quello che puoi dire è che per $k \rightarrow \infty$ hai $|e^{(k)}| \rightarrow 0$ poichè di fatto $e^{(k)} = \frac{(b-a)}{2^k}$

Comunque, per *intuire* come sia legato l'ordine di convergenza alle cifre significative, puoi provare a esprimere l'errore al passo $k$ come una potenza in base $10$