Due semplici ODE con Fourier

Salve,

Non mi trovo con i risultati di due equazioni differenziali da risolvere con la serie di Fourier.

1) $3y''-4y=cos(pi/3*x)$

La serie di Fourier della soluzione mi viene $S_y(x)=-(3sqrt3)/(16pi)+sum_(k=1)^(infty)(-24sqrt3(-1)^k)/(pi(4-9k^2)(3k^2pi^2+16))cos(kpi/2*x)$

Secondo il testo dell'esercitazione la soluzione è identica tranne che al posto di $3k^2pi^2$ dovrebbe venire $3k^6pi^2$; non capisco quel 6 da dove esca. Sono semplicemente partito dalla serie di Fourier della soluzione (ipotizzata pari) e ho derivato due volte i termini.
Vi risparmio la serie di Fourier del termine noto (che è corretta): $S_f(x)=(3sqrt3)/(4pi)+sum_(k=1)^(infty)(6sqrt3)/(pi(4-9k^2))(-1)^kcos(kpi/2x)$



2) $y''+sqrt2y'+y=f(x)$ dove $f(x)=x+pi/2$ per $-pi/2<=x<0$ e $x-pi/2$ per $0<=x<pi/2$

La serie di Fourier del termine noto (che è una funzione dispari) è (corretto): $S_f(x)=sum_(k=1)^(infty)-1/ksen2kx$

In questo caso non posso ipotizzare che la soluzione sia pari o dispari.

La mia serie di Fourier della soluzione è $sum_(k=1)^(infty)(-1/(16k^4-8k+1))(2sqrt2cos2kx+(4k^2-1)sen2kx))$
che differisce dalla soluzione del testo solo nella frazione iniziale che dovrebbe venire $(1/(k(16k^4+1)))$

1)
Mi sembra strano anche a me quel $k^6$.
Direi quasi certamente un errore nella soluzione.

2)
Devi aver fatto un errore di calcolo da qualche parte.
Tralascio in tutte le formule la sommatoria $\sum_{k=1}^{\infty}$ per non appesantire il tutto.
$y = \bar a_n \cos 2kx + \bar b_n \sin 2kx$
$\sqrt 2 y^{'} = \sqrt 2( - 2k\bar a_n \sin 2kx + 2k\bar b_n \cos 2kx)$
$ y^{''} = - 4k^2\bar a_n \cos 2kx - 4k^2\bar b_n \sin 2kx)$

$y + \sqrt 2 y^{'} + y^{''} =
(\cos 2kx) (\bar a_n + 2k\sqrt 2 \bar b_n - 4k^2\bar a_n) +
(\sin 2kx) (\bar b_n - 2k\sqrt 2 \bar a_n - 4k^2\bar b_n)
$

Da cui i termini in coseno devono annullarsi:

$\bar a_n + 2k\sqrt 2 \bar b_n - 4k^2\bar a_n= 0$

$\bar a_n = (-2k\sqrt 2 \bar b_n)/(1- 4k^2)$

Si sostituisce $\bar a_n$ in

$\bar b_n - 2k\sqrt 2 \bar a_n - 4k^2\bar b_n =
\bar b_n(1 + (8k^2)/(1- 4k^2) - 4k^2) =
\bar b_n(((1- 4k^2)^2 + 8k^2)/(1- 4k^2) ) =
\bar b_n(1 + 16k^4)/(1- 4k^2)$

Quindi

$\bar b_n(1 + 16k^4)/(1- 4k^2) = -1/k$

$\bar b_n = -(1- 4k^2)/(k(1 + 16k^4))$

E gia' da qui si vede che assomiglia alla soluzione giusta...

Per quanto riguarda il secondo esercizio, continuavo a scambiare un quadrato per una somma per differenza...

Rimane il fatto che viene (sia dai miei che dai tuoi calcoli) $a_n=(2sqrt2)/(16k^4+1)$

Quindi nella soluzione finale $k$ al denominatore non può essere messo in evidenza a meno di farlo comparire anche al numeratore e quindi rimarrebbe nel coefficiente del coseno.
$b_n$ ora torna anche a me


Ti ringrazio