16/07/2023, 22:18
Supponendo di voler approssimare il reciproco di un numero reale a come radice dell’equazione: $f(x)=1/x-a=0$, proponi una approssimazione iniziale che assicuri la convergenza del metodo e giustifica la scelta.
Abbiamo che la funzione del punto fisso associato al metodo di newton è $phi_N(x)=2x-ax^2$.
Si ha che $abs(phi'_N(x))<1$ se e solo se ${(x in(1/(2a),3/(2a)),if a>0),(x in(3/(2a),1/(2a)),if a<0):}$.
Ora per $a>0$ si ha che $AAx in(1/(2a),3/(2a))$ vale $phi_N(x)in(3/(4a),1/a]sube(1/(2a),3/(2a))$, per cui $phi_N:(1/(2a),3/(2a))->(1/(2a),3/(2a))$ per $a>0$. Alla stessa maniera vale che per $a<0$ si ha che $AAx in(3/(2a),1/(2a))$ vale $phi_N(x)in[1/a,3/(4a))sube(3/(2a),1/(2a))$ per cui $phi_N:(3/(2a),1/(2a))->(3/(2a),1/(2a))$ per $a<0$. Quindi come approssimazione iniziale se $a>0$ prendo $x^((0))in(1/(2a),3/(2a))$ mentre se $a<0$ prendo $x^((0))in(3/(2a),1/(2a))$.
Volevo sapere se andasse bene grazie