SNS di Pisa 1960/1961 Problema Numero 1

In un cerchio dato, il cui raggio è misurato da $r$, determinare un triangolo che abbia un vertice nel centro del cerchio e gli altri due, $A, B$, sulla circonferenza, in modo che la somma della base $AB$ e della relativa altezza sia uguale a un dato segmento misurato da $a$, supponendo $a < 2r$.

Forse il testo è stato scritto da un impiegato dell'UCCS (= Ufficio Complicazioni Cose Semplici).
Detto 2φ l'angolo al centro sotto il quale è vista la corda AB, si ha:
<base del triangolo> = AB = 2r·sin(φ); <altezza del triangolo> = r·cos(φ)
Dunque φ deve essere tale che risulti:
2sin(φ)+ cos(φ) < 2 (*)
Posto (per comodità) c= cos(φ), dalla (*) segue (mettendo in conto che è c > 0):
4 – 4·c^2 < 4 – 4·c + c^2 ⇔ 5c^2 > 4·c ⇒ c >4/5 ⇔ sin(φ) < 3/5 ⇒ 0 < AB < 1,2·r.
________

Erasmus