17/12/2010, 16:57
Da quanto dici qui io capisco che l'idea che hai e' chiara e giusta, ma oltre a non giustificare quello che dici (perche' \( \displaystyle e_1^{\phi(M)}=ae_1 \) ? Dovresti fare una dimostrazione un attimo piu' dettagliata) escludi un caso (il caso \( \displaystyle q=2 \) ) che in realta' non crea problemi, basta usare un argomento un po' diverso da quello che usi (senza peraltro dirlo) tu.j18eos ha scritto:Sia \( \displaystyle E=\{e_k\in\mathbb{F}_q^m\}_{k\in I_1^m} \) una base di \( \displaystyle \mathbb{F}_q^m \) , da quanto scritto una permutazione non identica \( \displaystyle \phi(M) \) non fissa tutti gli elementi di \( \displaystyle E \) , quindi deve essere, senza ledere generalità, \( \displaystyle e_1^{\phi(M)}=ae_1 \) ove \( \displaystyle a\in\mathbb{F}_q^\# \) (*) e ciò impone che sia \( \displaystyle q\neq2 \) .
17/12/2010, 20:32
18/12/2010, 11:40
Questo e' vero. Andrebbe solo giustificato meglio, osservando che se prendi l'insieme dei punti fissati da un certo automorfismo M di V (compreso il vettore nullo) ottieni un sottospazio vettoriale W di V. Quindi massimizzare il numero di punti fissi significa massimizzare la dimensione di questo W. Essa e' massima quando e' uguale a \( \displaystyle \dim(V)-1 \) . E fino qui credo che siamo d'accordo. Completi una base di W a una base di V aggiungendo un vettore \( \displaystyle v \in V \) che non sta in \( \displaystyle W \) , ok. Ma ora non capisco perche' chiedi che \( \displaystyle v \) sia riscalato (perdendoti il caso \( \displaystyle q=2 \) , dato che qui di riscalamenti c'e' solo quello banale). Ti serve che sia mosso, non necessariamente riscalato.j18eos ha scritto:un isomorfismo lineare di \( \displaystyle \mathbb{V} \) che "sposti meno vettori possibili" e che non sia l'identità fissa tutti i vettori di una data base ad eccezione di uno solo. Questa è l'idea di fondo.
18/12/2010, 12:05
Purtroppo "ci sono arrivato dopo", spostandolo come poi ho scritto per \( \displaystyle q=2 \) concludo.Martino ha scritto:...Ti serve che sia mosso, non necessariamente riscalato.
18/12/2010, 12:14
Esattamente cosa ti impedisce di fare questo per ogni \( \displaystyle q \) ?j18eos ha scritto:Tale ragionamento resta valido se \( \displaystyle q=2;\,m\geq2,\,e_1^{\phi(M)}=e_1+\sum_{k=2}^me_k \)
19/12/2010, 13:54
20/12/2010, 15:14
20/12/2010, 23:25
21/12/2010, 00:04
Lo puoi anche dare per scontato, ma secondo me se e' il nodo di passaggio dal massimizzare il numero di punti al massimizzare la dimensione di un sottospazio lo devi dire chiaramente. Opinione mia, certo.j18eos ha scritto:Che l'insieme \( \displaystyle \mathrm{Fix}(L) \) dei vettori fissati di un endomorfismo lineare \( \displaystyle L \) di un dato spazio vettoriale su un campo sia un suo sottospazio lo dò per scontato.
27/12/2010, 13:23
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