Passa al tema normale
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

05/11/2010, 21:16

@gugo, carinissima la generalizzazione :-D, la lascio ad uno studente volenteroso :-).

@robbstark: appena ho letto la tua dimostrazione, ho avuto lo stesso sospetto di Armando. In particolare quando scrivi
robbstark ha scritto:$sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) = int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx + sum_{n=alpha}^{k} 1/(2(1+t^2)) 1/(n+k)^2 <= int_{alpha}^{k+1} 1/(x+k) dx +1/k = ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k $


non puoi passare direttamente a

robbstark ha scritto:$lim_{k->+infty} sum_{n=alpha}^{k} 1/(n+k) =lim_{k->+infty} ln((2k+1)/(alpha+k)) +1/k = ln 2$


Fortunatamente poi ho letto il tuo secondo commento che mi ha chiarito le idee :). Complimentoni!

Ops: caricando la pagina, in "Revisione argomento " vedo il commento di Armando che spiega tutto :)

05/11/2010, 21:23

Sottolineo che nel mezzo c'è il simbolo \( \displaystyle \leq \) , quindi non è ancora stata confutata la mia tesi che robbstark abbia solo trovato una maggiorazione.

P.S.: Grazie per avermi chiamato per nome! :-D

05/11/2010, 21:33

Mmm, tu stesso hai dimostrato che
\( \displaystyle \lim_{k\to+\infty}\sum_{n=\alpha}^k\frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2}=0 \)

Dunque:
\( \displaystyle \lim_{k\to \infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{n+k} = \lim_{k\to\infty }\int_{\alpha}^{k+1}\frac{1}{x+k} dx +\lim_{k\to\infty}\sum_{n=\alpha}^k \frac{1}{2(1+t^2)(n+k)^2} \)
da ciò segue la tesi ;)


[ot]figurati, il tuo nickname mi viene difficile da ricordare, inoltre uno dei miei migliori amici si chiama armando :-D

05/11/2010, 21:51

Che svista! -_-

Lo ribadisco ancora che pensavo (come si è dimostrato) di essere in errore. :-D Quella maggiorazione :smt019 mi ha fregato.

23/11/2010, 13:30

gugo82 ha scritto:Tra l'altro, a questo punto si potrebbe congetturare la seguente generalizzazione:

\( \displaystyle \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{N} \setminus \{ 0\},\quad \lim_n \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} =\ln (\beta +1) \) [...]

Domanda bonus: da questo esercizio è possibile desumere una dimostrazione della divergenza della serie armonica?

Risposta seria alla domanda bonus.

Si ha:

\( \displaystyle \sum_{k=\alpha}^{\beta n} \frac{1}{n+k} = \sum_{h=n+\alpha }^{(\beta +1)n} \frac{1}{h} = \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} \)

quindi:

(*) \( \displaystyle \lim_n \sum_{h=1}^{(\beta +1) n} \frac{1}{h} - \sum_{h=1}^{n+\alpha -1} \frac{1}{h} =\ln (\beta +1) \) ;

se, per assurdo, supponessimo che \( \displaystyle \sum \frac{1}{h} \) converga, allora dovrebbe essere soddisfatto il criterio di Cauchy, i.e.:

\( \displaystyle \lim_{p,q \to +\infty} \left| \sum_{h=1}^p \frac{1}{h} -\sum_{h=1}^q \frac{1}{h} \right| =0 \)

quindi il limite (*) dovrebbe essere nullo, in palese contraddizione con quanto provato.
Quindi \( \displaystyle \sum \frac{1}{h} \) diverge.
Rispondi al messaggio


Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000— Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.