07/05/2008, 16:23
07/05/2008, 17:42
08/05/2008, 06:26
09/05/2008, 12:35
elios ha scritto:Come faccio a dimostrare che il triangolo PAB avente un vertice in P e i rimanenti due sulla circonferenza avente perimetro massimo, è un triangolo isoscele che ha come base una corda della circonferenza? Perché, una volta dimostrato ciò, posso fare la dimostrazione richiesta esattamente all'incontrario di quella che ho fatto finora, sempre che tutto ciò che ho detto finora sia giusto... GRAZIE!
10/05/2008, 12:00
WiZaRd ha scritto:Questo fa capire che, in ogni caso, si lavora con un triangolo isoscele. Ma detto ciò, non si può provare la richiesta del problema semplicemente invertendo quella tua dimostrazione, perché bisogna andare a pescare il triangolo isoscele di perimetro massimo e provare che per questo si verifica il passaggio delle bisettrici per il centro della circonferenza.
10/05/2008, 12:28
elios ha scritto:Ma una volta che dimostro che il triangolo dal perimetro massimo è isoscele (non sappiamo ancora come), allora di conseguenza le bisettrici che escono dagli angoli alla base passano per il centro, no?
11/05/2008, 09:38
12/05/2008, 20:59
13/05/2008, 04:14
13/05/2008, 10:23
IvanTerr ha scritto:Io ho seguito questo ragionamento:
Sia $d$ la distanza del punto $P$ dal centro $C$ della circonferenza data e $r$ il suo raggio; si ottiene l'altezza $h= bar(PC)+r\ sen alpha$. la metà della base è $rcos alpha$. Una volta ottenuta l'altezza e metà della corda di base si può ricavare un lato ($bar(PA)$ o $bar(PB)$) applicando la formula di Pitagora. Si ricava: $sqrt((d+r/2)^2+(rcosalpha)^2)=sqrt(d^2+dr+r^2/4+r^2cos^2alpha)$. Si può osservare che sia $h$ che $bar(MB)$ (cioè la metà della corda che forma la base) dipendono dall'angolo $alpha$, impostando dunque il prodotto $h$ per $bar(MB)$ e derivando applicando il teorema di Rolle, si perviene ai valori di $t_(1,2)=1/2,-1$ che, scartando il valore $-1$ da come risultato $t=1/2$ da cui $alpha=(pi)/3$. Il triangolo che ha il perimetro massimo risulta pertanto il triangolo equilatero inscritto nel cerchio che è anche Isoscele. Confesso che ammiro la vostra perspicacia, il fatto che avevate intuito che si trattasse di un triangolo necessariamente isoscele si scontra con la mia cecità totale su dove mi avrebbe portato il mio ragionamento. Come fate? Un dono naturale? Quali indizi vi hanno guidato? Mi piacerebbe saperlo.
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