Ciao!
Ok, hai colto l'idea, il problema si risolve così.
Qualche appunto:
dove $(p+1)$ non è necessariamente $p+1$ ma rappresenta il massimo fattore comune fra $q$, $r$ e $s$ dopo che sono stati divisi per $p!$.
Perché dici che è il massimo?
A priori (cioè prima delle considerazioni che seguono) anche \( \displaystyle p+2 \) potrebbe essere un fattore comune.
Forse volevi dire minimo?
Ad ogni modo ti scrivo come avrei concluso io.
Arrivato a
\( \displaystyle 1+q(q-1)\cdot...(p+1)+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1) \)
si ha che \( \displaystyle p+1 \) divide il secondo membro e due addendi del primo, da cui facilmente \( \displaystyle 1|(p+1) \) e questo sarebbe possibile solo se \( \displaystyle p=0 \) , ma il testo parla di numeri positivi.
Quindi dobbiamo concludere che \( \displaystyle p+1 \) non divide nemmeno uno di quei due addendi, cioè dopo aver diviso ad esempio \( \displaystyle q! \) per \( \displaystyle p! \) non avanza nulla, cioè \( \displaystyle p=q \) .
A questo punto si avrebbe
$ \( \displaystyle 2+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1) \) ma ragionando come prima
(*) si ha appunto
\( \displaystyle p=q=r \) e si conclude.
(*)
Sto tralasciando il caso \( \displaystyle p=2 \) perché stiamo cercando altre quaterne, diverse da quella nota.