13/10/2010, 11:22
13/10/2010, 12:12
13/10/2010, 13:48
non sarebbe disdegnataLord K ha scritto: \( \displaystyle \displaystyle (\frac{-1}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}} \)
13/10/2010, 14:06
13/10/2010, 14:34
Martino ha scritto:Giusto, pero' una dimostrazioncina di questo fatto:non sarebbe disdegnataLord K ha scritto: \( \displaystyle \displaystyle (\frac{-1}{p})=(-1)^{\frac{p-1}{2}} \)
13/10/2010, 15:14
Mancherebbe l'implicazione \( \displaystyle (c) \Rightarrow (b) \) .Lord K ha scritto:Per gradire:
\( \displaystyle (b) \Leftrightarrow (c) \)
13/10/2010, 15:24
13/10/2010, 15:34
Come esattamente?Lord K ha scritto: \( \displaystyle (b) \Rightarrow (c) \) implica che \( \displaystyle p\in \mathbb Z[i] \) è composto, ma ancora di più, che necessariamente \( \displaystyle p = (a+ib)(a-ib) \)
No, si fa uso del fatto che p e' primo, per esempio 21 e' 1 modulo 4 ma non e' somma di due quadrati.Lord K ha scritto:qui non si fa uso che \( \displaystyle p \) sia primo, ma solo del tipo \( \displaystyle p=4\mu +1 \) .
13/10/2010, 15:42
Martino ha scritto:Come esattamente?Lord K ha scritto: \( \displaystyle (b) \Rightarrow (c) \) implica che \( \displaystyle p\in \mathbb Z[i] \) è composto, ma ancora di più, che necessariamente \( \displaystyle p = (a+ib)(a-ib) \)No, si fa uso del fatto che p e' primo, per esempio 21 e' 1 modulo 4 ma non e' somma di due quadrati.Lord K ha scritto:qui non si fa uso che \( \displaystyle p \) sia primo, ma solo del tipo \( \displaystyle p=4\mu +1 \) .
13/10/2010, 15:58
Ho capito ma almeno un accenno di argomento dovresti darloLord K ha scritto:per il primo mi risulta banale la cosa...
Bene. Tuttavia trovo che sia piu' chiaro partire da \( \displaystyle p=(a+ib)(c+id) \) e prendere le norme, ottenendo \( \displaystyle p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \) , da cui \( \displaystyle p=a^2+b^2=c^2+d^2 \) essendo p primo.infatti se:
\( \displaystyle p=(a+ib)(c+id) \)
necessariamente ho che \( \displaystyle gcd(a,b)=gcd(c,d)=1 \) perchè \( \displaystyle p \) è primo, ed allora:
${(ac-bd=p),(ad+bc=0):}$
sovviene che \( \displaystyle c|a \) e viceversa ed anche \( \displaystyle b|d \) e viceversa. Perchè sia soddisfatta allora necessariamente \( \displaystyle a=c \) e \( \displaystyle b=-d \) . Da cui di nuovo dalla prima \( \displaystyle p=a^2+b^2 \)
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