Spazi di Sobolev, derivate deboli.

Ho tre dimostrazioni di questo fatto, due mie e una suggerita da un mio compagno di corso.

Sia \( \displaystyle u\in L_{loc}^1(I) \) con \( \displaystyle I \) un intervallo reale.
Dimostrare che se \( \displaystyle \displaystyle\int_I u \phi^{(k)}=0 \) per ogni \( \displaystyle \phi\in C_0^{\infty}(I) \) allora \( \displaystyle u(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1} A_j x^j \) q.o., ovvero è un polinomio di grado al più \( \displaystyle k-1 \) .

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Una risposta rapida ma non beliissima passa dalle distribuzioni. Come dicevamo in questo post, ogni distribuzione su un intervallo ha primitive e due primitive differiscono per una costante additiva. L'ipotesi data equivale a

\( \displaystyle u^{(k)}\equiv 0 \) in \( \displaystyle \mathcal{D}'(I) \)

allora \( \displaystyle u^{(k-1)}\equiv A \) per una costante \( \displaystyle A \) ;

per lo stesso motivo,

\( \displaystyle u^{(k-2)}\equiv Bx+C \) per costanti \( \displaystyle B, C \) ;

e così via, fino a

\( \displaystyle u\equiv \sum_{j=0}^{k-1} A_jx^j \) .

Concludiamo che \( \displaystyle u \) è una funzione e coincide q.o. con un polinomio di grado al più \( \displaystyle k-1 \) .

questa è la terza soluzione bravo dissonance !

vediamo se a qualcuno viene in mente una molto elegante a mio parere ... che non tira in ballo le distribuzioni.

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Indichiamo con $(\rho_{\epsilon})$ la famiglia standard di mollificatori.
Sia $x\in I$ fissato, e consideriamo la funzione test $\phi(y) = \rho_{\epsilon}(x-y)$. Per ipotesi sappiamo che
$\int_I u(y) \phi^{(k)}(y) dy = 0$, vale a dire
$u_{\epsilon}^{(k)}(x) = \int_I u(y) \rho_{\epsilon}^{(k)}(x-y)dy = 0$.
Da questo concludiamo che $u_{\epsilon}^{(k)} = 0$ in $I$, e dunque $u_{\epsilon}$ è un polinomio di grado $<k$.
Poiché $u_{\epsilon}$ converge q.o. a $u$ in $I$ per $\epsilon\to 0$, anche $u$ è un polinomio di grado $<k$.

Bene Rigel! Qusta è quella elegante che pensavo

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Una cosa però (precisazione): $u_{\epsilon}(x)$ è la successione di mollificate di $u(x)$. Hai dimostrato che esse sono dei polinomi. Però, fissato un compatto (così $u$ è $L^1$-integrabile), la convergenza q.o. ce l'hai solo di una sottosuccessione (in quanto $u_{\epsilon}\to u$ in $L^1$), non di tutto.

Però utilizzando questo fatto e tornando "dentro l'integrale" (non so se ho reso l'idea) puoi concludere che $u$ è un polinomio di grado al più $k$, su ogni compatto, da cui la tesi.

Correggimi pure se ho detto una cavolata

Certamente, quando lavori con le mollificazioni ragioni sempre in termini di compatti contenuti nell'aperto di riferimento.
Poi siccome tutto vale per ogni compatto contenuto nell'aperto etc etc etc...