Equazione nei razionali [Ammissione SSC]

Problema di ammissione alla Scuola Superiore di Catania.

Trovare tutte le soluzioni razionali della seguente equazione

$x^2+7y^2=2$

Io l'ho risolto con un metodo abbastanza carino direi...vediamo come lo risolvereste voi.

Allora innanzitutto comincio con il trasformare le soluzioni dal campo dei Razionali ai Relativi ponendo:

$x=p/q$
$y=z/q$

In questo modo l'equazione risulta $(p^2)/2+7/2z^2=q^2$ con p, q e z numeri Relativi.
In questo caso l'equazione diofantea di 2° grado è simile a $x^2+y^2=z^2$ che possiede infinite soluzioni, terne pitagoriche.
Ora se prendiamo p=q=1 e z=2 ci accorgiamo che sono soluzioni dell'equazione. Ma allora se moltiplichiamo p,q e z per un qualsiasi intero k avremo sempre delle soluzioni. (Penso che nelle diofantee ci siano delle proprietà di questo tipo note ai più, ma non so se la mia dimostrazione in questo modo sia il massimo )
Ergo l'equazione ha infinite soluzioni.

OK,le soluzioni sono infinite ma il testo chiede di determinarle tutte.Carino il tuo blog!

Appunto deve anche dire quali sono le soluzioni...

Se si trova un soluzione razionale allora per determinare tutte le
altre si puo' usare il metodo di Klein.
Nel nostro caso per x=y si ha:
$8x^2=2$ da cui $x=y=+-1/2$
Intersechiamo ora l'ellisse rappresentata dalla relazione con la retta
generica uscente ,ad esempio, da $(1/2,1/2)$ e cioe' $x-1/2=m(y-1/2)$
$(x^2+7y^2=2,x-1/2=m(y-1/2))$ ottenendo le soluzioni:
$x=(-m^2-14m+7)/(2(m^2+7)),y=(m^2-2m-7)/(2(m^2+7))$
Al variare di m in $QQ$ si hanno le richieste soluzioni.
karl

eh... ma allora c'era il trucco!! ... io mi sono limitato a fare a mano il caso $y=1/a$ e $x=b/c$, ma non credo di riuscire a generalizzare e non ho molta voglia

Ultima modifica di Thomas il 25/09/2006, 18:14, modificato 1 volta in totale.

Se si trova un soluzione razionale allora per determinare tutte le
altre si puo' usare il metodo di Klein.
Nel nostro caso per x=y si ha:
$8x^2=2$ da cui $x=y=+-1/2$
Intersechiamo ora l'ellisse rappresentata dalla relazione con la retta
generica uscente ,ad esempio, da $(1/2,1/2)$ e cioe' $x-1/2=m(y-1/2)$
$(x^2+7y^2=2,x-1/2=m(y-1/2))$ ottenendo le soluzioni:
$x=(-m^2-14m+7)/(2(m^2+7)),y=(m^2-2m-7)/(2(m^2+7))$
Al variare di m in $QQ$ si hanno le richieste soluzioni.
karl

Io ho utilizzato il tuo stesso metodo, non sapevo si chiamasse metodo di Klein...

A parte ke credo di aver anche sbagliato xke come infinite soluzioni avevo considerato p=q=k e z=2k, ma le incognite erano x e y che rispettivamente assumevano il valore $p/z=k/(2k)$ e $q/z=k/(2k)$ che corrisponde quindi ad una sola soluzione .

Carino il tuo blog!

Grassie

@Karl:
L'ellisse considerata qual'è? $2x^2+2y^2=1$(dato ke x=y)? [Ma in questo caso non potrebbero esistere anche soluzioni in cui x è diverso da y?]

L'ellisse e' quella data dalla relazione iniziale:
$x^2+7y^2=2$
e le soluzioni che ho indicate ,al variare di m, hanno tutte $x != y$
a meno di casi particolari.Puoi vederlo dando ad m qualche valore .
karl

L'ellisse e' quella data dalla relazione iniziale:
$x^2+7y^2=2$
e le soluzioni che ho indicate ,al variare di m, hanno tutte $x != y$
a meno di casi particolari.Puoi vederlo dando ad m qualche valore .
karl

.... Ma nell'ellisse la i coefficenti di $x^2$ e $y^2$ non dovevano essere uguali? ....