Primitive cercansi

Siano $x$ reale ed $e$ reale positivo minore di 1.
Sia $F(x)$ la primitiva nulla in $x = 0$ di $f(x)= 1/(1-e·cos(x))$, ossia:
$F(x) = int_0^x (dt)/(1-e·cos(t)$.
Sia $G(x)$ la primitiva nulla in $x = 0$ di $g(x)= 1/(1+e·cos(x))$, ossia:
$G(x) = int_0^x (dt)/(1+e·cos(t)$.

Determinare $F(x)$ e $G(x)$.
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$F(x)=\frac{2}{\sqrt{1-e^2}}\arctan[\sqrt\frac{1+e}{1-e}\tan\frac{x}{2}]$
Per $G(x)$ penso sia sufficiente cambiare $e$ con $-e$ nella $F(x)$
Il risultato si ottiene, come di regola in tali casi, con la sostituzione:
$\cost=\frac{1-u^2}{1+u^2}$, dove $u=\tan\frac{t}{2}$

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$F(x)=\frac{2}{\sqrt{1-e^2}}\arctan[\sqrt\frac{1+e}{1-e}\tan\frac{x}{2}]$.

OK nell'ntervallo $–π<x<π$.
Ma questa tua funzione è periodica (di periodo $2π$), a valor medio nullo e discontinua in ogni multiplo dispari di $π$.
Siccome la funzione integranda è continua, periodica (di periodo $2π$) e sempre positiva, la primitiva nulla in $x=0$ è del tipo:
$F(x) = kx + p_a(x)$ (*)
dove $k$ è una costante positiva e $p_a(x)$ è una funzione continua periodica "alternata" (di periodo $2π$) nulla in ogni multiplo pari di $2π$.
Puoi aggiustare la tua funzione aggiungendo, in ogni generico intervallo $(2n-1)π < x < (2π+1)π$ (con $n$ naturale) – in cui la tua funzione è continua – l'addendo $2nπ$.
Ma si può anche scrivere ... esplicitamente la giusta funzione del tipo (*).
[Consglio: passare per il campo complesso.]
Volendo restare nel campo reale, ... questa "giusta funzione" si può anche ricavare dalla tua (dato che la tua è OK per $π<x<π$) . .

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